Лекция «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» (2 часа)

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 940 ; Нарушение авторских прав

1.1. Основные понятия

· Определителем называется число, заданное квадратной таблицей чисел, которая содержит п строк и п столбцоводинаковой длины.

Определитель обозначается .

Количество строк задает порядок определителя.

2. n =2. .

Прави­ла вычисления определителей

Прави­ло вычисления определителя порядка п является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, по­зволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свой­стве разложения определителя по элементам некоторого ряда.

Определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

1. Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример. Найти определители

2. При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников(или Саррюса), которое символически можно запи­сать так:

Пример. Вычислить определитель матрицы

1.2. Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие опреде­лителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

,

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определи­теля можно вынести за знак определителя.

Следствие. Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда про­порциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя предста­вляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разло­жен на сумму двух соответствующих определителей.

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответ­ствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Пример. Доказать, что

Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Миноромнекоторого элемента aij определителя n-го порядка назы­вается определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится вы­бранный элемент. Обозначается mij

Так, если , то ,

Алгебраическим дополнениемэлемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная.

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример. Вычислите определитель матрицы

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда опре­делителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов па­раллельного ряда равна нулю.

Так, например,

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!



Как найти функцию комплексной переменной?
Производная сложной функции Полная производная


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать