Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики.

Навигация по странице.

Обратная функция - определение и примеры нахождения.

Определение обратной функции.

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Примеры нахождения взаимнообратных функций.

Например, требуется решить уравнение .

Решениями являются точки .

Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнем с линейных взаимнообратных функций.

Найти функцию обратную для .

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).

- это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать .

Таким образом, и - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.

Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.

Найти функцию обратную для .

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал . Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).

- это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем .

Таким образом, и - показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.

График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.

Свойства взаимно обратных функций.

Перечислим свойства взаимно обратных функций и .

  • и .
  • Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.
  • Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x .
  • Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.

Замечание по свойству 1).

Например: и - взаимно обратные функции. По первому свойству имеем . Это равенство верно только для положительных y , для отрицательных y логарифм не определен. Так что не спешите с записями вида , а если уж так написали, то следует добавить фразу «при положительных y».

Равенство в свою очередь верно для любых действительных x .

Надеемся, Вы уловили этот тонкий момент.

Особенно аккуратными надо быть с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.

К примеру, , так как область значений арксинуса , а в нее не попадает.

В свою очередь есть верное равенство.

То есть при и при .

Еще раз подчеркнем: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ!

Графики основных элементарных взаимно обратных функций.

Взаимно обратные степенные функции, графики.

Для степенной функции при обратной является также степенная функция Если заменить буквы, то получим пару взаимно обратных функций и

Графики для положительных а и отрицательных а .

Взаимно обратные показательная и логарифмическая функции и , графики.

Подразумеваем, что а положительное и не равное единице число.

Графики для и для

Взаимно обратные тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

График главной ветви синуса и арксинуса (светлая область).

График главной ветви косинуса и арккосинуса (светлая область).

График главной ветви тангенса и арктангенса (светлая область).

График главной ветви котангенса и арккотангенса (светлая область).

Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.

Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину вдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на .

Пока на этом закончим с обратными функциями.



Линия как множество точек
Свойства преобразования Лапласа


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать