Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Определение единичного вектора нормали к поверхности. Выражения для элемента площади поверхности

Предположим, что поверхность $\sigma $ задаётся неявным уравнением $\Phi (x,y,z)=0 (\Phi (x,y,z)$ - непрерывно дифференцируемая функция и взаимно однозначно проецируется в область $D_ $ на плоскости $\mathbf<\textit< Oxy>>$.

Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение $\Phi (x,y,z)=0$ как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных $\Phi (x,y,z)$, получаем, что в каждой точке поверхности $\sigma grad\Phi (x,y,z)$ ортогонален $\sigma $, т.е. является нормальным к $\sigma $ вектором.

Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость

Пусть $\mathbf< >$ поверхность $\sigma $ взаимно однозначно проецируется в область $D_ $ на плоскости $\mathbf<\textit>$. Будем считать, что поверхность задана уравнением $z=F(x,y)$, $(x,y)\in D_ $.

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при $\mathop <\max >\limits_ diam\sigma _i \to 0$ <при этом и $\mathop <\max >\limits_ diamD_ \to 0$> даёт $ \iint\limits_\sigma =\iint\limits_ > \cdot \sqrt <1+\left( <\frac<\partial F><\partial x>> \right)^2+\left( <\frac<\partial F><\partial y>> \right)^2> \cdot dxdy. $

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Найдем проекцию поверхности $\sigma $ на плоскость $\mathbf<\textit>$. Исключим из уравнений цилиндра и гиперболоида переменную $\mathbf<\textit>$:

$\left\< <\begin x^2+z^2=2x \\ x^2-y^2+z^2=1 \\ \end> \right.\Rightarrow 2\mathbf<\textit>=\mathbf<\textit>^<2>+1$ - уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на $\mathbf<\textit>$.

Полагая в уравнении цилиндра $\mathbf<\textit> = 0$, получим уравнение линии пересечения цилиндра и плоскости $\mathbf<\textit>$. Таким образом, поверхность $\sigma $ проецируется в область $\mathbf<\textit>$, ограниченную параболой $\mathbf<\textit>=\frac<1><2>(\mathbf<\textit>^<2>+1)$ и прямой $\mathbf<\textit>=2$.

Найти $\iint\limits_\sigma \right|d\sigma >$, где $\sigma $ - полная поверхность цилиндра $\mathbf<\textit>^<2>+\mathbf<\textit>^<2 >= 1, 0\leq \mathbf<\textit>\leq 1$.

Искомый интеграл равен сумме трех интегралов: по нижнему и верхнему основаниям $\sigma _<1>$ и $\sigma _<2>$ и боковой поверхности. Так как на нижнем основании $z=0$, то $\iint\limits_ <\sigma _1 > \right|d\sigma >=0$. Для верхнего основания $\sigma _<2>$ имеем $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit>,\mathbf<\textit>)=1, \frac<\partial z><\partial x>=\frac<\partial z><\partial y>=0$, поэтому поверхностный интеграл по $\sigma _<2>$ совпадает с двойным интегралом от функции $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit>,\mathbf<\textit>)\vert \mathbf<\textit>\vert =\vert \mathbf<\textit>\vert $, взятым по кругу $\mathbf<\textit> =<<>\mathbf<\textit>^<2>+\mathbf<\textit>^<2><1<>>$:

Найдем интеграл по боковой поверхности. Она состоит из двyх частей: $\sigma _<3>$ и $\sigma _<4>$ , симметричных относительно плоскости $\mathbf<\textit>$. Так как фyнкция $\mathbf<\textit>\vert \mathbf<\textit>\vert $ - четная по $\mathbf<\textit>$, то интегралы по $\sigma _<3>$ и $\sigma _<4>$ равны.

Проекция $\sigma _<3 >$ на плоскость $\mathbf<\textit>$ - прямоyгольник $\mathbf<\textit>:<<>-1 \leq \mathbf<\textit>\leq 1, 0 \leq \mathbf<\textit> \leq 1<>>$.

Окончательно полyчаем: $\iint\limits_\sigma \right|d\sigma >=0+\frac<1><2>+1=\frac<3><2>$

Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы $\iint\limits_\sigma =\iint\limits_\sigma =\iint\limits_\sigma $. Тогда $ \iint\limits_\sigma =\frac<1><3>\iint\limits_\sigma <(x^2+y^2+z^2)d\sigma >=\frac<1><3>R^2\iint\limits_\sigma =\frac<4\pi R^4><3>. $

Читайте также:

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Механические приложения тройного интеграла

Определение криволинейного интеграла второго рода

Перейти к оглавлению $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow $

Если у Вас есть вопросы или комментарии, Вы можете оставить их ниже.

Комментарии ( 0 )

В Контакте

Все права защищены. При использовании материалов сайта ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна.



Вычертить область, заданную неравенствами
Предел последовательности


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать