Поверхностные интегралы. Понятие и примеры решений

Наконец-то длительные каникулы подошли к концу, и я рад приветствовать ценителей интегрального исчисления на новом уроке! Сегодня мы зайдём немножко в дебри темы, которые освещены далеко не во всех учебниках по математическому анализу. И это большое упущение, поскольку задачи на вычисление поверхностных интегралов встречаются даже у студентов-заочников. Что тут сказать… – Пробелы есть, пробелы нужно закрывать!

Итак, что же такое поверхностный интеграл? Из самого названия следует, что здесь речь идёт об объединении (интегрировании) некоторой величины по поверхности. Представьте лесную полянку с муравьями…, где-то их больше, где-то меньше, и цель поверхностного интегрирования состоит в том, чтобы вычислить суммарную «муравьиную массу» по поверхности поляны.

И этот «детский» пример не так далёк от сути – поверхностные интегралы получили широчайшее распространение в физике, где часто возникает надобность подсчитать ту или иную физическую величину по поверхности. Но коль скоро сайт посвящён математике, то в рамках данного урока я не буду рассматривать все эти приложения, а остановлюсь на технической стороне вопроса – чтобы у вас не возникало трудностей именно с вычислением поверхностных интегралов.

Начнём с условностей и обозначений.

Поверхности. В практических задачах, как правило, встречаются «обычные», а также кусочно-гладкие поверхности, состоящие из «кусков» плоскостей, цилиндров, параболоидов и иже с ними. Далее по умолчанию будем подразумевать только «хорошие» ограниченные (грубо говоря, не бесконечные) поверхности, позволяющие беспроблемно интегрировать. Система координат по дефолту прямоугольная декартова – тоже удобная и хорошая.

Поверхность обычно обозначают буквой или . Последний вариант хоть и распространён, но не слишком хорош, так как ассоциируется с площадью; «омега» сложнА для написания, а посему поверхность условимся обозначать буквой .

Поверхностный интеграл по поверхности обозначают удвоенным значком интеграла:

И здесь сразу возникает вопрос: поверхность – она же в пространстве, так почему интеграла только два? Дело в том, что пространственная поверхность – это объект двумерный. Простейшее доказательство проведём с помощью полюбившегося наглядного пособия =) Расстелите на полу одеяло и задайте на нём, например, декартову систему . Сколько координат нужно указать, чтобы определить любую точку одеяла? Две. Теперь поднимите одеяло и произвольно изогните его в пространстве.

Ещё более наглядный пример – наш земной шар эллипсоид. Любая точка его поверхности однозначно определяется двумя координатами (широтой и долготой).

Кстати, если поверхность ограничена, замкнута и лежит в плоскости , то представляет собой ни что иное, как старый-знакомый двойной интеграл.

Ну а с другой точки зрения, поверхностный интеграл – это пространственный аналог криволинейного интеграла, и если у вас после этих фраз отлегло от сердца, то можете смело читать дальше =)

…правильно догадываетесь – поверхностные интегралы тоже бывают первого рода и второго рода.

Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим некоторую поверхность . Из чего она состоит? Из точек с координатами «икс, игрек, зет». Отлично.

Пусть функция трёх переменных определена в каждой точке данной поверхности. Что это значит? Это значит, что каждой точке поверхности ставится в соответствие определённое число – образно говоря, «муравей» той или иной степени «упитанности», который «сидит» на бесконечно малом участке данной поверхности.

Наверное, многие предчувствуют дальнейшее развитие темы. Согласно общему принципу интегрирования, интеграл объединяет этих «муравьёв» по всем бесконечно малым площадям поверхности .

И нетрудно понять, что при он в точности равен площади самой поверхности:

Как решать поверхностные интегралы 1-го рода?

С помощью поверхностного интеграла найти площадь фрагмента плоскости , расположенного в 1 октанте.

…извращение, конечно, но что поделать =)

Решение: сначала выполним чертёж. В большинстве случаев без него никак. Для этого запишем уравнение плоскости в отрезках:

По причине нахлынувшей ностальгии все чертежи этого урока я выполню от руки. Да и не только по этой – думается, ручное построение поверхностей будет актуально ещё достаточно долго:

По условию, площадь треугольника нужно найти с помощью поверхностного интеграла 1-го рода:

Если поверхность задана функцией двух переменных , то поверхностный интеграл можно свести к двойному интегралу по формуле:

, где – проекция поверхности на плоскость . Занесите в свой справочник.

В нашем случае речь идёт о площади и поэтому формула упрощается:

(прерываемся для промежуточных действий)

С областью (на чертеже заштрихована) трудностей нет – остановлюсь лишь на том, как найти уравнение прямой, которая лежит в плоскости . Для этого в уравнении плоскости обнуляем «лишнюю» зетовую переменную:

откуда удобно выразить:

Двумерный чертёж настоятельно рекомендую даже читателям с высоким уровнем подготовки, ибо «проглючить» тут может как дважды два:

После чего решение выходит на финишную прямую:

Ответ:

Но это ещё далеко не всё. Зададимся следующим вопросом: а почему поверхность нужно проецировать именно на плоскость ? Чем другие координатные плоскости и другие переменные хуже? Да ничем! Давайте окончательно отбросим все комплексы и освоим универсальную технику интегрирования:

Формула вторая: если поверхность выражена функцией , то:

, где – проекция данной поверхности на плоскость .

Перепишем уравнение плоскости в виде:

и возьмём частные производные:

Теперь в уравнении плоскости обнулим «лишнюю» игрековую координату, выяснив тем самым уравнение прямой, которая лежит в плоскости :

Выполним чертёж проекции :

(на пространственном чертеже это левый «стоячий» треугольник)

Порядок обхода области:

Что мы и ожидали увидеть.

Самостоятельно запишите формулу вычисления поверхностного интеграла для случая, когда поверхность выражена функцией и решите задачу третьим способом – проецированием поверхности на плоскость

Зачем нужна эта экзотика?

Нужна. И более того, не такая уж это и экзотика. В некоторых задачах проецирование на «родную» плоскость сопряжено с трудностями или вообще недопустимо (когда поверхность параллельна оси ). Или получается трудный интеграл. И поэтому всегда нужно держать на заметке, что существуют альтернативные пути!

Следующее задание для самостоятельного решения:

С помощью поверхностного интеграла вычислить площадь поверхности , расположенную в верхнем полупространстве.

Тот редкий случай, когда можно обойтись без чертежа – слишком уж каноничен параболоид. Следует отметить, что в этом примере выгодно именно «классическое» интегрирование с проецированием поверхности на плоскость . Кстати, результат будет любопытно сравнить с ответом Примера 2 статьи Площадь поверхности вращения.

Добавим в наш интеграл какую-нибудь интересную функцию…. Посвящается «математической» доменной зоне и Гуглу в частности:)

Вычислить интеграл , где – фрагмент конической поверхности , заключенный между плоскостями .

Решение: порядок построения чертежа подробно рассмотрен в статье о поверхностях, но, тем не менее, кратко повторю: на высоте данная плоскость пересекает конус по:

окружности единичного радиуса:

-«колпак» проще спроецировать на «стандартную» плоскость:

и воспользоваться формулой

Верхнюю часть конуса задаёт функция:

И здесь сразу удобно упростить корень:

Таким образом, по формуле (см. выше):

И из «плоского» чертежа очевиден порядок обхода:

Постараемся ничего не упустить:

Ответ:

Может ли поверхностный интеграл равняться нулю? Конечно. И отрицательному числу тоже. Ведь подынтегральная функция может принимать любые значения.

Рассмотрим два альтернативных пути. Вкратце разберу порядок действий:

Способ второй. Проецируем конус на плоскость (получится треугольник) и используем формулу ,

причём, интеграл придётся представить в виде суммы двух интегралов:

,

где – это левая часть конуса, которую нужно выразить функцией:

а – его правая часть:

И противоположные «игрековые» знаки приводят к забавной коллизии – в результате интегралы взаимоуничтожаются и сразу получается ноль (если не понятно, почему так, начните решать). А казалось, это был совершенно нерациональный путь! Но то, конечно, частный счастливый случай.

Здесь, кстати, мы столкнулись со свойством аддитивности, которое наряду со свойством линейности, разумеется, справедливо и для поверхностных интегралов. Иными словами, поверхность можно разделить на несколько кусков, вычислить интеграл по каждому из них, после чего просуммировать результаты.

Способ третий. Проецируем конус на плоскость (тоже получится треугольник) и используем формулу

Аналогично – интеграл представляем как сумму интегралов по ближней и по дальней от нас части конуса; результаты так же взаимоуничтожаются и получается ноль.

Рассмотренная поверхность тоже «хорошо» проецируется на все координатные плоскости, однако так бывает далеко не всегда. Не такая уж редкость, когда в нашем распоряжении оказываются два, а то и единственный путь решения. Соответствующие примеры будут на уроке Поток векторного поля. Но пока с ними повременим.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вычислить интеграл , где – часть плоскости , ограниченная координатными плоскостями. Выполнить чертёж.

Моя версия решения в конце урока.

В рамках данной статьи я не буду рассматривать общую формулу вычисления поверхностного интеграла 1-го рода для параметрически заданной поверхности. По той причине, что в большинстве учебных курсов всё дело ограничивается частными декартовыми формулами. Однако читателям-«технарям» просто необходимо ознакомиться с этим материалом – соответствующую информацию можно найти здесь (попроще) и здесь (посложнее). Там же, к слову, есть развёрнутая теория и дополнительные примеры.

И в заключение параграфа коротко о «главном» физическом смысле рассмотренного интеграла:

если поверхность представляет собой тонкую оболочку (железную, пластмассовую и т.д.; не обязательно однородную), а функция характеризует её плотность в каждой точке , то поверхностный интеграл 1-го рода численно равен массе данной оболочки: .

И никаких насекомых =)

Поверхностные интегралы второго рода

Здесь опять прослеживается аналогия с криволинейными интегралами. Если в поверхностном интеграле значения функции умножаются на бесконечно малые кусочки самой поверхности (кусочки площади), то у поверхностных интегралов 2-го рода интегрирование осуществляется по проекциям этих кусков на координатные плоскости. В случае проецирования на плоскость площадь таковой бесконечно малой проекции символически обозначают произведением .

Второе принципиальное отличие состоит в том, что интегрирование ведётся по ориентированной поверхности. Что это значит? Накройтесь одеялом и представьте, что его «протыкает» ось (остриём вверх).

Одну сторону поверхности считают верхней или положительной, обозначим её через , другую сторону – нижней или отрицательной ( ). Таким образом можно составить ДВА поверхностных интеграла 2-го рода, причём:

Что называется, по одну сторону одеяла Вы есть, а по другую Вас нет =) И тут даже скептики согласятся, что разница существует.

Во многих случаях удобно «безликое» обозначение – со словесным комментарием, о какой стороне поверхности идёт речь. Но более строго стороны принято определять единичными векторами нормали (вспоминаем, что такое вектор нормали к поверхности).

У верхней стороны одеяла эти векторы образуют с осью острые углы, у нижней стороны – тупые. Если поверхность параллельна оси , то угол прямой, сама поверхность проецируется в линию и оба криволинейных интеграла равны нулю.

Однако это только треть айсберга.

Кусочки ориентированной поверхности можно спроецировать на координатные плоскости , провести аналогичные рассуждения и получить ещё две пары поверхностных интегралов 2-го рода:

Здесь значком обозначают ту сторону поверхности, которая «смотрит» в направлении осей и соответственно.

Но то были шутки – на практике наибольшую популярность снискал «комбинированный» интеграл .

! Слагаемые не переставляем, буквы не меняем! И другим не даём. Это стандарт.

Начинаем отрабатывать технику интегрирования:

Вычислить интеграл , где – верхняя сторона плоскости , расположенная в 1 октанте.

Решение: перепишем уравнение плоскости в отрезках: и изобразим уже привычную картину. Кроме того, добавим единичный нормальный вектор плоскости, указывающий нужное направление:

Пожалуйста, ничего не пропускайте!тут много важного:

Поверхностный интеграл 2-го рода можно решить двумя способами

Для этого удобно использовать свойство линейности:

– чтобы с каждым интегралом разделаться по отдельности:

1)

Правило: если нормальные векторы к поверхности образуют с положительной «иксовой» полуосью острые углы, то интеграл такого вида сводится к двойному интегралу по формуле:

, где – функция поверхности, а – проекция этой поверхности на плоскость .

В противном случае (когда углы тупые):

Если поверхность параллельна оси , то . Конец правила.

! Правила и формулы переписывайте на бумагу!

Чтобы не возвращаться за ними вновь и вновь.

В нашем случае – острый (см. чертёж выше), поэтому используем первую формулу. Выражаем нужную функцию поверхности , и понеслось:

Найдём линию пересечения плоскости с координатной плоскостью :

и изобразим проекцию :

Второй и третий интегралы решаются аналогично:

2)

Правило: если нормальные векторы к поверхности образуют с положительной полуосью острые углы, то ; если тупые, то: , где проекция поверхность на плоскость . Если же поверхность параллельна оси , то .

В нашем случае – острый, поэтому нужно использовать первую формулу:

Выражаем: и раскручиваем второй интеграл:

Найдём линию пересечения поверхности с координатной плоскостью :

и изобразим область :

Порядок обхода области:

Громоздкие вычисления надёжнее оформлять «простынёй»,

одна строка – одно действие:

3) И, наконец, наш «родной» интеграл

Вместе с родным правилом:) если нормальные векторы к поверхности образуют с положительной полуосью острые углы, то ; если тупой, то ; если поверхность параллельна оси , то .

Очевидно, что у нас снова «острый» случай, и задача облегчается тем, что в подынтегральной функции отсутствует переменная «зет», а значит, уравнение плоскости не нужно представлять в виде .

Сразу находим проекцию и решаем интеграл «одной строкой»:

Надо же, одной строкой и вышло =)

Осталось просуммировать полученные результаты:

Ответ:

Ввиду очевидного свойства этот же интеграл по нижней стороне поверхности будет равняться «минус пяти».

Надо сказать, мы прорешали универсальное задание, поскольку на практике вам по отдельности могут предложить такой: , либо такой , либо такой интеграл. Или же сумму любых двух частей. Поэтому труды и усидчивость были и будут (!) не напрасны!

Второй способ решения. Поверхностный интеграл 2-го рода можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по следующей формуле:

, где:

векторная функция, которая каждой точке ориентированной поверхности ставит в соответствие несвободный вектор с началом в данной точке. В нашем случае:

векторная функция, которая каждой точке опять же ориентированной поверхности ставит в соответствие единичный нормальный вектор к данной стороне поверхности в данной точке. Если поверхность задана функцией двух переменных , то оную функцию можно составить по формуле:

– для верхней (положительной) стороны поверхности, или:

– для нижней (отрицательной) стороны.

Следует заметить, что все нормальные векторы, наоборот – свободны.

Так как в нашем примере поверхность плоская, то во всех её точках вектор будет одним и тем же (на трёхмерном чертеже я изобразил его один раз). И действительно:

– один и тот же вектор для всех точек поверхности .

Теперь по обычной формуле вычислим скалярное произведение, при этом константу нормального вектора удобно сразу вынести за скобки:

Таким образом, по указанной выше формуле:

Поверхностный интеграл 1-го рода, как вы помните, можно вычислить тремя способами, …но я уж не буду таким извергом =) Ограничимся проецированием поверхности (уже не ориентированной!) на плоскость и формулой:

Функция – готовенькая, да и корень тоже вычислен:

Скопирую для наглядности проекцию:

Интеграл таки лучше взять поэтапно:

Ответ:

Может показаться, что второй способ легче первого, но так бывает далеко не всегда

И немного забегая вперёд, сообщу, что рассмотренное в задаче множество векторов образует векторное поле, а сам интеграл получил название Поток векторного поля. Очень хочется рассказать подробнее, но я пока оставлю за кадром эти интереснейшие понятия и примеры из жизни.

Для самостоятельного решения:

Вычислить интеграл по верхней стороне плоскости , ограниченной координатными плоскостями.

Нет, это вовсе не занудство, треугольник – самая распространённая поверхность, которая встречается чуть ли не в половине тематических задач.

Постарайтесь решить интеграл обоими способами: в первом случае следует проявить повышенное внимание при выборе формулы (см. правила Примера 5), а во втором нужно иметь в виду, что «недостающие» компоненты векторной функции равны нулю.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Но это ещё не всё! Продолжаем:

Вычислить интеграл по внешней стороне полусферы , расположенной в верхнем полупространстве.

Формулировки внешняя сторона и внутренняя сторона распространены и интуитивно понятны, но они таят в себе немало опасностей. Давайте разбираться, в чём дело:

Решение: чертёж здесь очень прост:

И первое отличие касается нормальных векторов поверхности . У каждой точки полусферы он свой (в качестве примера я изобразил пару штук).

Решим задачу первым способом:

1) Вычислим

И тут нас поджидает сюрприз: нормальные векторы полусферы образуют с полуосью как острые, так и тупые углы. Что делать?

В силу свойства аддитивности, поверхностный интеграл можно (и нужно) разделить на две части:

Для ближней к нам четвертинки сферы, которая выражается функцией , углы будут острыми и поэтому:

Для дальней четвертинки эти углы тупы, и поэтому там следует применить формулу с «минусом»:

где – проекция полусферы на плоскость .

2) С интегралом ситуация такая же: нормальные векторы правой четвертинки (например, ) образуют с полуосью острые углы, а нормальные векторы левой четвертинки (например, ) – тупые углы.

, где – тоже полукруг радиуса 2, но уже в плоскости .

3) С интегралом ситуация чуть проще: т.к. нормальные векторы образуют с полуосью острые углы, то для соответствующей функции используем «плюсовую» формулу:

, где – круг радиуса 2.

К слову, для полной сферы, поверхностный интеграл нужно дробить и в этом пункте.

Осталось вычислить интегралы и просуммировать результаты. Но повторять что-то не хочется =)

Конечно, здесь проще второй способ. Хотя, справедливости ради, не намного:

Запишем функцию векторного поля:

Поскольку нормальные векторы поверхности образуют с полуосью острые углы, то для построения соответствующей векторной функции используем формулу:

В данном случае:

Еще раз повторим смысл этих функций: каждой точке полусферы, ставится в соответствие несвободный вектор , «торчащий» из этой точки, и единичный нормальный вектор (свободный), указывающий ориентацию поверхности в данной точке.

Вычислим скалярное произведение:

Сводим дело к поверхностному интегралу 1-го рода, не забывая, что :

Самостоятельно доведите решение до конца по формуле , ну а я воспользуюсь тем фактом, что равен площади поверхности . Как известно, площадь поверхности сферы равна , следовательно, площадь нашей полусферы радиуса составляет:

Ответ:

Соответственно, интеграл по нижней стороне этой же полусферы будет равняться .

Несложный и познавательный пример для самостоятельного изучения:

Вычислить поверхностный интеграл по внутренней стороне параболического цилиндра . Выполнить чертёж.

В конце страницы есть решение обоими способами.

Ну а теперь пришло время поздравить всех выживших с успешным (надеюсь) приобретением новых знаний и навыков. И это действительно достижение, поскольку данная статья является одной из самых сложных на сайте.

На очереди интереснейшая Теория поля, к которой мы плавно подходили в ходе изучения криволинейных и поверхностных интегралов. Не пропустите!

Решения и ответы:

Площадь искомой поверхности вычислим с помощью поверхностного интеграла по формуле:

– круг радиуса 2 с центром в начале координат.

Порядок обхода области :

Ответ:

и выполним чертёж:

Поверхностный интеграл вычислим по формуле:

, где – проекция поверхности на плоскость .

Найдём прямую и выполним чертёж области :

Выберем следующий порядок обхода:

Ответ:

Пример 6. Решение: интеграл несколько проще вычислить первым способом. Выполним чертёж:

Так как единичный нормальный вектор поверхности образует с положительным направлением оси тупой угол, то используем формулу:

Найдём линию пересечения плоскости с координатной плоскостью :

и изобразим проекцию :

Выберем следующий порядок обхода области:

1)

Ответ:

1) Поскольку поверхность параллельна оси , то ;

2) Интеграл разделим на две части. Векторы нормали к левой части поверхности образуют с полуосью острые углы, а к правой части поверхности – тупые углы, поэтому:

Изобразим область :

В результате:

Способ второй: сведём решении к поверхностному интегралу 1-го рода:

В данном случае:

Поскольку нормальные векторы внутренней стороны поверхности образуют с полуосью тупые углы, то функцию единичных векторов нормали составим по формуле:

Вычислим скалярное произведение:

Используем формулу

Изобразим область :

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com



Приближенные вычисления определенных интегралов
Найти доверительный интервал


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать