4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

4.1. Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку О 1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xoy точка М имеет координаты x и y . Система координат x ′ O 1 y ′ получена из системы координат xO y параллельным переносом осей, при котором начало координат О 1 имеет координаты x 0 и y 0 в системе координат xOy . Точка М в

системе координат x ′ O 1 y ′ имеет координаты x ′ и y ′ . Связь между координатами точки M ( x,y ) и точки M ( x ′ ,y ′ ) в старой и новой системах координат задается формулами:

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O 1 ( x 0 ,y 0 ), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2 - уравнение окружности с центром в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) и радиусом R .

Аналогично получаются уравнения других кривых

= 1 - уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии

в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) ;

= 2 p ( x − x ) - уравнение параболы с вершиной в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) .

При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: x − x 0 = ± a e , а

параболы: x − x 0 = − 2 p .

Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: y − y 0 = ± b a ( x − x 0 ) .

4.2. Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x ′ Oy ′ равны x ′ и y ′ . Найдём её координаты в системе коорднат xOy . В треугольнике

CMD CMD = α , OD=x ′ , MD=y ′ .

Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC-CM=DB+CM.

OB = x cos α , CD = y

cos α , DB = x sin α ,

Эти формулы выражают старые координаты ( x,y ) произвольной точки М через новые координаты ( x ′ ,y ′ ) этой же точки при повороте осей на угол α .

Формулы, выражающие новые координаты ( x ′ ,y ′ ) точки М через её старые координаты ( x,y ), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол α , то старая система получается поворотом новой на угол (- α ), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (- α ).

Выполнив это преобразование, получим

x ′ = x cos α + y sin α , y ′ = − x sin α+ y cos α .

При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид:

x ′ cos α − y ′ sin α = ± a e ; x ′ cos α − y ′ sin α = − 2 p .

4.3. Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x 0 по оси ox и на y 0 по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол α , то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования

координат, выражающие старые координаты через новые

и новые координаты через старые:

x ′ = ( x − x )cos α + ( y − y )sin α ,

− ( x − x 0 )sin α+ ( y − y 0 )cos α .

4.4. Приведение общего уравнения кривой второго порядка

к каноническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 .

Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто переносом начала координат в центр кривой (x 0 ,y 0 ) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями. Алгебраически это приводит к исчезновению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после применения формулы (1) п.4.1 и (3) п.4.2.

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записывается как

Bx 0 + Cy 0 + E = 0.

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса начала координат в центр (x 0 ,y 0 ) уравнение кривой примет вид

Ax ′ 2 + 2 Bx ′ y ′+ Cy ′ 2 + F 1 = 0 ,

где F 1 = Dx 0 + Ey 0 + F .

Чтобы получить каноническое уравнение кривой

A 1 ( x ′′ ) 2 + C 1 ( y ′′ ) 2 + F 2 = 0 ,

подвергнем уравнение (6) преобразованию поворота осей координат на угол ϕ .

x ′ = x ′′ cos ϕ− y ′′ sin ϕ , y ′ = x ′′ sin ϕ+ y ′′ cos ϕ ,

где x ′′ , y ′′ - новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения, слагаемые второго порядка:

A ( x ′′ cos ϕ− y ′′ sin ϕ ) 2 + 2 B ( x ′′ cos ϕ− y ′′ sin ϕ )( x ′′ sin ϕ+ y ′′ cos ϕ ) + C ( x ′′ sin ϕ+ y ′′ cos ϕ ) 2 .

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение x ′′ y ′′ ,

коэффициент перед которым равен

B 1 = − 2 A sin ϕ cos ϕ+ 2 B (cos 2 ϕ− sin 2 ϕ ) + + 2 C sin ϕ cos ϕ= 2 B cos2 ϕ+ ( C − A )sin 2 ϕ .

Найдём угол поворота из условия В 1 =0: 2 B cos2 ϕ = ( A − C )sin 2 ϕ .

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Интегралы от тригонометрических функций
Векторное и смешанное произведение векторов