Преобразование системы координат.

Преобразование системы координат. - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Переход От Одной Системы Координат В Какую-Либо Другую Называется Пре.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Тема: ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система О1х1у1 получена поворотом системы Оху на угол α (см. рис. 6).

Пусть М — произвольная точка плоскости, (х; у) — ее координаты старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + φ и φ , где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Полученные формулы называются формулами поворота осей.Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат О1х1у1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 7), то путем введения вспомогательной системы О1х1у1 легко получить формулы, выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.

Тема: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ (ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называютсятекущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хо, уо) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F1(x;y) = 0 и F2(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ) =0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(1)

где x и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если х = t + 1, у = t 2 , то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х= 2 + 1 = 3, у = 2 2 = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (1) — параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений

путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; или у — х 2 = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегдацелесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r = r (t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению toсоответствует определенный вектор r0 = r (t0), плоскости. При изменении параметра t конец вектора r = r (t) опишет некоторую линию (см. рис. 8).

Векторному уравнению линии r = r (t) всистеме координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. рис. 8

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x;y) = 0.

Всякому уравнению вида F(x;y) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением

(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 9-17 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Уравнение в прямоугольных координатах: (х 2 + у 2 ) 2 - а 2 (х 2 - у 2 ) = 0, а > 0;

В полярных координатах ее уравнение имеет вид r = а cos3φ 3, где а > 0.

Уравнение в полярных координатах имеет вид r = b +а cosφ .

Эта тема принадлежит разделу:

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ. АЛГЕБРА МАТРИЦ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преобразование системы координат.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицей, называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длины или n-столбцов одина

Длина вектора, называется также его модулем. Модуль есть скалярная величина. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными чертами – сл

Пусть векторы и

Пусть векторы и

Смешанное произведениеравно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к

. доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовате

Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Тема: СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты

Тема: СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Под системой координат на плоскости понимают способ позволяющий, численно описать положение точки плоскости. Одной из

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем Ах + Ву + С = 0, (2.4) где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно

Пусть прямая проходит через точку М(хо;уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать

Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и М2(х2;у2). Уравнение прямой, проходящей через точку М1,

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(хо;уо) перпендикулярно данному ненулевому вектору п = (А; В). рис.20

Пусть прямая определяется заданием р и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О з

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угло

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку
Новости и инфо для студентов
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто

Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.



Нормальный вектор плоскости Уравнение плоскости, проходящей через данную точку


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать