Приложения двойного интеграла

Независимые переменные: \(x\), \(y\), \(u\), \(v\)

Области интегрирования: \(R\), \(S\)

Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(\alpha\), \(\beta\)

Полярные координаты: \(r\), \(\theta\)

Площадь области: \(A\)

Площадь поверхности: \(S\)

Плотность пластины: \(\rho\left( \right)\)

Заряд пластины: \(Q\)

Плотность заряда: \(\sigma\left( \right)\)

Координаты центра масс: \(\bar x\), \(\bar y\)

Среднее значение функции: \(\mu\)

Двойной интеграл от функции \(f\left( \right)\) в прямоугольной области \(\left[ \right] \times \left[ \right]\) определяется как предел интегральной суммы (суммы Римана):

Двойной интеграл от функции \(f\left( \right)\) в произвольной области \(R\) определяется как \(\large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> = \large\iint\limits_ <\left[ \right] \times \left[ \right]>\normalsize \right)dA>,\)

где прямоугольник \(\left[ \right] \times \left[ \right]\) содержит область \(R\), функция \(g\left( \right) = f\left( \right)\), если \(f\left( \right)\) находится в \(R\), и \(g\left( \right) = 0\) в противном случае.

Двойной интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

\(\large\iint\limits_R\normalsize <\left[ \right) + g\left( \right)> \right]dA> = \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> + \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \)

Двойной интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

\(\large\iint\limits_R\normalsize <\left[ \right) - g\left( \right)> \right]dA> = \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> - \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \)

Постоянный коэффициент можно выносить за знак двойного интеграла:

\(\large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> = k\large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \)

Если \(f\left( \right) \le g\left( \right)\) в области \(R\), то справедливо неравенство

\(\large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \le \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \)

Если \(f\left( \right) \ge 0\) в области \(R\) и \(S \subset R\), то

\(\large\iint\limits_S\normalsize \right)dA> \le \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \)

Если \(f\left( \right) \ge 0\) в области \(R\), а \(R\) и \(S\) − непересекающиеся области, то

\(\large\iint\limits_\normalsize \right)dA> = \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> + \large\iint\limits_S\normalsize \right)dA> \)

Здесь \(\) является объединением областей интегрирования \(R\) и \(S\).

Повторный интеграл в области типа I

где область интегрирования \(R\) определяется неравенствами

\(R = \left\ < \left( \right) \mid a \le x \le b,\;p \left( x \right) \le y \le q\left( x \right)\right\>\).

Повторный интеграл в области типа II

где область интегрирования \(R\) определяется неравенствами

\(R = \left\ < \left( \right) \mid u\left( y \right) \le x \le v\left( y \right),\;c \le y \le d \right\>\).

Двойной интеграл в прямоугольной области

Если \(R\) является прямоугольной областью \(\left[ \right] \times \left[ \right]\), то

В частном случае, когда подынтегральная функция \(f\left( \right)\) представляет собой произведение \(g\left( x \right) h\left( y \right)\), двойной интеграл можно записать в виде

\(x = r\cos \theta, y = r\sin \theta \)

Двойной интеграл в полярных координатах

Дифференциал \(dxdy\) в полярных координатах определяется выражением

Пусть область интегрирования \(R\) определяется соотношениями \(0 \le g\left( \theta \right) \le r \le h\left( \theta \right)\), \(\alpha \le \theta \le \beta \), где \(\beta - \alpha \le 2\pi \). Тогда

Двойной интеграл в полярном прямоугольнике

Если область интегрирования \(R\) представляет собой полярный прямоугольник , заданный неравенствами \(0 \le a \le r \le b\), \(\alpha \le \theta \le \beta\), где \(\beta - \alpha \le 2\pi \), то двойной интеграл равен

Площадь области типа \(I\)

Площадь области типа \(II\)

\(V = \large\iint\limits_R\normalsize \right)dA> \)

Если \(R\) является областью типа \(I\), ограниченная линиями \(x = a\), \(x = b\), \(y = h\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), то

Если \(R\) является областью типа \(II\) и ограничена линиями \(y = c\), \(y = d\), \(x = q\left( y \right)\), \(x = p\left( y \right)\), то

Объем тела между двумя поверхностями

Если \(f\left( \right) \ge g\left( \right)\) в области \(R\), то объем тела между поверхностями \(\left( \right)\) и \(\left( \right)\) в данной области равен

\(V = \large\iint\limits_R\normalsize <\left[ \right) - g\left( \right)> \right]dA> \)

Площадь и объем в полярных координатах

Пусть область \(S\) задана в полярных координатах в плоскости \(Oxy\) и ограничена линиями \(\theta = \alpha\), \(\theta = \beta\), \(r = h\left( \theta \right)\), \(r = g\left( \theta \right)\). Пусть также в области \(S\) задана функция \(f\left( \right)\). Тогда площадь области \(S\) и объем тела, ограниченного поверхностью \(f\left( \right)\), определяются формулами

\(m = \large\iint\limits_R\normalsize <\rho \left( \right)dA> \)

Пластина расположена в области \(R\) и ее плотность в точке \( <\left( \right)>\) равна \( <\rho \left( \right)>\).

Статические моменты пластины

Момент пластины относительно оси \(Ox\) определяется формулой

Аналогично, момент пластины относительно оси \(Oy\) выражается в виде

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси \(Ox\) вычисляется по формуле

\( = \large\iint\limits_R\normalsize <\rho \left( \right)dA> \)

Момент инерции пластины относительно оси \(Oy\) равен

\( = \large\iint\limits_R\normalsize <\rho \left( \right)dA> \)

Полярный момент инерции определяется выражением

Координаты центра масс пластины

где электрический заряд распределен по области \(R\) и его плотность в точке \( <\left( \right)>\) равна \( <\sigma \left( \right)>\).

Среднее значение функции

\(\mu = \large\frac<1>\iint\limits_R\normalsize \right)dA>,\;\) где \(S = \large\iint\limits_R\normalsize \).

Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.



Преобразование координат
Обратные тригонометрические функции