Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов.

Функции и называют бесконечно малыми при , если и

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин и .

Вычислим предел отношения этих величин

Используя одно из свойств логарифма получим

Поэтому предел примет вид:

Так как функция логарифма непрерывна на области определения, то можно воспользоваться свойством предела непрерывных функций и поменять местами знак предельного перехода и знак функции логарифма:

Проведем замену переменных . Так как - бесконечно малая функция при , то , следовательно, .

Поэтому предел примет вид:

Полученная единица доказывает эквивалентность исходных бесконечно малых величин. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых очень сильно ускоряет процесс решения, хотя без нее, конечно, можно обойтись. Вопрос – нужно ли только.

Найти предел

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Эта неопределенность указывает на то, что и в числителе и в знаменателе находятся бесконечно малые функции. Обратимся к таблице эквивалентных бесконечно малых: функция эквивалентна , следовательно, эквивалентна .

Таким образом, после замены бесконечно малой функции ей эквивалентной, предел примет вид:

Без наличия таблицы эквивалентных бесконечно малых мы бы воспользовались, например, правилом Лопиталя:

Как вариант, можно было преобразовать функцию с использованием формул тригонометрии и применить первый замечательный предел:



Интегрирование функции комплексного переменного


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать