Приращение аргумента и функции.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале I, х0 и х два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента и обозначаютΔх:

х - х0 =Δх, откуда х = х0 + Δх, т.е. значение аргумента х можно определить через х0 и его же приращение Д х.

Разность между двумя значениями функции называется приращением функции и обозначаютΔу: Δу=Δ f=f(xo+ Δx)-f(xo)

Как видно из рисунка приращение аргументаΔ х, изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции Δf - приращением ординаты этой точки.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X.

Предел отношения приращения функции Δf к приращению аргумента Δх, когда Δх стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке х.

Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен+ ∞ (или - ∞), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечную производную.

Производная обозначается символами y / (x0), f / (x0) ; , .

Читается f'(x) (эф штрих от икс).

Нахождение производной называется дифференцированием функции, поэтому выражение "продифференцировать функцию" равносильно выражению "найти производную функции".

Исходя из определения производной, можно сказать:

1) мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути S по времени t: v (t)= S'(t);

2) мгновенная скорость химической реакции есть производная от функции X по аргументу t: v (t) = x'(t).

Таким образом, можно сделать вывод: производная функции у = f(x) по аргументу х есть мгновенная скорость изменения функции у = f(x). В этом состоит физический смысл производной.

Вторая производная функции у = f(x) по аргументу х есть ускорение изменения функции у = f(x).

4. Геометрический, смысл производной.

Рассмотрим график функции f(x) и построим на этом графике произ­вольным образом точку М. В данной точке М проведем касательную к графику функции f(x)

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом состоит геометрический смысл производной.

Дата добавления: 2016-06-05 ; просмотров: 5000 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ



Общие уравнения прямой