1. Непрерывность функции в точке Определение 1

1. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(32)

Таким образом, условие непрерывности функции y=f(x) в точке х0 состоит в том, что:

предел функции y=f(x) при стремлении х к х0 как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;

числа и f(x0) равны.

Так как , то равенство (32) можно записать в виде

(33)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х0.

Задание. Найти предел: 1) ; 2) .

Дадим определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Т.к. условия и одинаковы (рис.4), то равенство (32) принимает вид:

или .

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задание. Исследовать на непрерывность функцию y=2х 2 1.

Свойства функций, непрервных в точке

1. Если функции f(x) и φ(x) непрерывны в точке х0, то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке х0.

2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a;b), и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т.е. ).

3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если х=х0  точка разрыва функции y=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

1. . 2.

3) 4) .

▼Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:

если , то х0 называется точкой конечного разрыва.

Величину |A1-A2| называют скачком функции в точке разрыва первого рода. ▲

▼Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. ▲

Задание. Найти точки разрыва и выяснить их тип для функций:

1) ; 2) .

4. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель не равен нулю).

Теорема 3. Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция у=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, , то каково бы ни было число С, заключённое между А и В, найдётся точка такая, что f(c)=C.

Геометрически теорема очевидна. Для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что f(С)=C. Прямая у=С пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка с, в которой функция y=f(x) обращается в нуль: f(c)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох.

Утверждения теорем Вейерштрасса и Больцано-Коши, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из её условий: непрерывна не на отрезке [a;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв.



Приближенные вычисления определенных интегралов