Предел функции. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции. Основные теоремы о пределах. Признаки сущес

Предел функции. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Вычисление предела функции.

Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции. Эквивалентные б.м. и основные теоремы о них. Вычисление пределов

1. Приращение аргумента и функции

Возьмём в области определения функции y=f(x) произвольно два значения аргумента, первое будем называть начальным (для точки М), второе  изменённым (для точки М1).

Начальное значение х считается постоянным в ходе всего рассуждения, а точка А (рис.2), соответствующая ему на оси Ох,  неподвижной. Изменённое значение аргумента принято обозначать , ему на рис. 2. соответствует точка Р.

▼ выражает ту величину, на которую изменяется аргумент при переходе от первого значения аргумента ко второму, и называется приращением аргумента. ▲

равняется разности между вторым и первым значениями аргумента.

Значениям х и аргумента соответствуют определённые значения функции: начальное у и изменённое .

▼ есть величина, на которую изменяется значение функции у при изменении аргумента на величину , и называется приращением функции. ▲

равняется разности между вторым и первым значениями функции.

Построим точки М(х;у) и графика функции y=f(x) (рис.3). .

Геометрически приращение функции есть разность ординат точек графика функции, соответствующих изменённому и начальному значениям аргумента.

Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным. При положительном отрезок NN1= на оси ординат (рис.2) расположен выше неподвижной точки N, при отрицательном  ниже её (рис.3).

aДля того, что бы найти выражение приращения функции y=f(x), обусловленное изменением значения аргумента х на величину следует найти:

начальное значение функции есть: y=f(x);

изменённое значение её равно: ;

приращение функции: .

Задание. Найти приращение функции . Соответствующее произвольному приращению аргумента х.

2. Предел функции в точке

Определение 1на языке последовательностей», или по Гейне.)

1. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0 (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, ( ), сходящейся к х0 (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(xn), сходится к числу А (т.е. ).▲

В этом случае пишут или при .

aГеометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0 , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε-δ», или по Коши»

2. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0 (или при ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .▲

Записывают .

aГеометрический смысл предела функции: , если для любой ε-окрестности точки А найдётся такая δ-окрестность точки х0, что для всех из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε-окрестности точки А.

Иными словами, точки графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε, у=А–ε. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

3. Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

▼Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого ε>0 существует число δ=δ(ε)>0 такое, что при выполняется неравенство

. (19)▲

Предел слева записывают так: или коротко: f(x0-0)=A1 (обозначения Дирихле).

Аналогично определяется предел справа. Коротко предел справа обозначают или f(x0+0)=A2.

▼Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. ▲

Очевидно, если существует , то существуют оба односторонних предела f(x0-0) и f(x0+0) и они равны, т.е А=А12. Справедливо и обратное утверждение. Если же , то не существует.

4. Предел функции при

Пусть функция y=f(x) определена в промежутке ).

▼Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого положительного числа ε существует такое число M=M(ε)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>M выполняется неравенство

Записывают или при .

Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ;

Если принимает лишь отрицательные значения, то пишут .

▼Функция y=f(x) называется бесконечно большой величиной при , если для любого числа M>0 найдётся такое число S=S(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>S, выполняется неравенство |f(x)|>M.▲

Свойства б.б. величин

Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

Сумма бесконечно большой величины и огрначенной фукнции есть величина бесконечно большая.

Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

6. Бесконечно малые величины (б.м.)

▼Функция y=f(x) называется бесконечно малой величиной при , если

. (21)▲

По определению предела равенство означает: для любого числа ε>0 найдётся такое число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0

=a

=b

дробь может принимать различные значения, а также вовсе не иметь предела

8. Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между двумя функциями φ(х) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

, , , то

.

Теорема (о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограниченна при x x0, то существует соответственно её левый предел или её правый предел .

Следствие. Ограниченная монотонная последовательность xn, , имеет предел.

9. Вычисление предела

Для того чтобы найти

1. вычисляем f(х0), если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению.

при нахождении пределов применяют соотношения:

; (k=const); ;

; .

;

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не даёт значения предела, называют неопределённостями; к ним относятся неопределённости видов:

; ; ; ; ; ; и др.

2. Если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей, то следует применить соответствующие правила для раскрытия данной неопределённости.

Неопределённость вида

Для того чтобы разрешить неопределённость вида , до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель и сокращаем на него, т.к. .

Чтобы раскрыть неопределённость , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.

Неопределённость вида

Числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Предел рационального выражения вида

при будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:

Числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Неопределённости и

Неопределённости и раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости или .

Задание. Найти предел: 1) ;

2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

10. Первый замечательный предел

▼Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. ▲

. (29)

, , , , ,

, .

11. Второй замечательный предел

, , (30)

где е — число Эйлера.

; , (а=const);

; ; .

Для второго замечательного предела обязательным является:

первое слагаемое равно единице;

второе слагаемое и показатель степени должны быть взаимно обратными величинами, т.е. их произведение равно единице.

При нахождении пределов вида

необходимо иметь в виду:

1) если существуют конечные пределы ; , то ;

2) если и , то С находится с помощью формул:

3) если и , то положив , где при , получим = .

При нахождении пределов используют соотношения:

; , где , ;

; ; ;

; ;

; ;

.

Задание. Найти предел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

12. Сравнение бесконечно малых

Две б.м.ф сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть и есть б.м.ф. при , т.е. и .

Если ( ), то α и β называются бесконечно малыми одного порядка.

Если , то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

Если , то то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β.

Если не существует, α и β называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы правила сравнения б.м.ф. при , .

13. Эквивалентные б.м. и основные теоремы о них

Если , то то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Это обозначается: α

β´ при .

Теорема. Предел отношения двух б.м.ф. не изменится если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой

.

Теорема. Разность двух эквивалентных б.м.ф. есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Теорема. Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Важнейшие эквивалентности (31)

s inx

x ln a при ;

при ;

в частности,

.

Задание. Найти предел: 1) ; 2) .

aОтметим, что а х  бесконечно большая (при а>1 и х ) более высокого порядка, чем x k для любого k,

logax  бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х k .



Производные сложных функций нескольких переменных
Построение линии по ее уравнению