Производная функции, заданной параметрическим способом

Пусть функция задана параметрическим способом:

где некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции и имеют производные при некотором значении переменной . Причем и функция имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки . Тогда функция (1) имеет в точке производную , которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:

Здесь и – производные функций и по переменной (параметру) . Их часто записывают в следующем виде:

Тогда систему (2) можно записать так:

Доказательство

По условию, функция имеет обратную функцию. Обозначим ее как

Тогда исходную функцию можно представить как сложную функцию:

Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:

Доказательство вторым способом

Найдем производную вторым способом, исходя из определения производной функции в точке :

Тогда и предыдущая формула принимает вид:

Воспользуемся тем, что функция имеет обратную функцию , в окрестности точки .

Разделим числитель и знаменатель дроби на :

Производные высших порядков

Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:

По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:

Обозначим первую производную, посредством переменной :

Тогда, чтобы найти вторую производную от функции по переменной , нужно найти первую производную от функции по переменной . Зависимость переменной от переменной также задана параметрическим способом:

Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:

Отсюда получаем вторую производную функции по переменной :

Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:

Продолжая процесс, можно получить производные функции от переменной третьего и более высоких порядков.

Заметим, что можно не вводить обозначение для производной . Можно записать так:

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:

Находим производные и по .

Пример 2

Найдите производную от функции, выраженной через параметр :

Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней:

Находим производную . Для этого введем переменную и применим формулу производной сложной функции.

Находим искомую производную:

Пример 3

Найдите производные второго и третьего порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:

В примере 1 мы нашли производную первого порядка:

Производную по мы нашли в примере 1:

Производная второго порядка по равна производной первого порядка по :

Итак, мы нашли производную второго порядка по в параметрическом виде:

Находим производную по . Для этого перепишем в эквивалентном виде:

Производная третьего порядка по равна производной первого порядка по :

Можно не вводить переменные и , которые являются производными и , соответственно. Тогда можно записать так:

В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:

Производная третьего порядка:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-01-2017



Интеграл по замкнутому контуру


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать