Производная функции, заданной неявно

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения

И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем

Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :

Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения

Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:

При этом и являются сложными функциями от переменной :

Зависимость определяет уравнение (1):

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то

Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :

Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .

Находим производную по , считая постоянной.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.

По формуле (2) находим:

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :

Умножим числитель и знаменатель на :

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Дифференцируем исходное уравнение (П1).

Умножаем на и группируем члены.

Подставим (из уравнения (П1)):

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :

Применяем формулу производной сложной функции.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):

Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :

Раскрываем скобки и группируем члены:

Находим производную первого порядка:

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).

Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):

Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .

Дифференцируем уравнение (П3.3).

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017



Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах