Производная сложной функции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от .

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)) . То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)) .

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx) . Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда .

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как . Здесь f – функция синуса, - функция извлечения квадратного корня, - дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом .

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции.

Найти производную сложной функции .

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Вот подробное решение с использованием формулы производной сложной функции:

Давайте найдем эту производную, предварительно упростив вид исходной функции.

Как видите, результаты совпадают.

Постарайтесь не путать, какая функция есть f , а какая g(x) .

Поясним это примером на внимательность.

Найти производные сложных функций и .

В первом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому

.

Во втором случае f – это функция синуса, а - степенная функция. Следовательно, по формуле произведения сложной функции имеем

Формула производной для функции имеет вид

Продифференцировать функцию .

В этом примере сложную функцию можно условно записать как , где - функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e , функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

По формуле производной сложной функции

  1. как производную синуса из таблицы производных:

  • - как производную степенной функции:

  • - как производную логарифмической функции:

  • - как производную арктангенса:

  • При дифференцировании выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице:

  • Собираем воедино полученные промежуточные результаты:

    Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как матрешки.

    На этом можно было бы и закончить статью, если бы ни одно но…

    Желательно отчетливо понимать, когда применять правила дифференцирования и таблицу производных, а когда формулу производной сложной функции.

    СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии функций сложного вида от сложных функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.

    Начнем с простых примеров. Функцию можно рассматривать как сложную: g(x) = tgx , . Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции

    А вот функцию сложной уже назвать нельзя.

    Эта функция представляет собой сумму трех функций , 3tgx и 1 . Хотя - представляет собой сложную функцию: - степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы:

    Осталось найти производную сложной функции :

    Поэтому .

    Надеемся, что суть Вы уловили.

    Если смотреть более широко, то можно утверждать, что функции сложного вида могут входить в состав сложных функций и сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.

    В качестве примера разберем по составным частям функцию .

    Во-первых, это сложная функция, которую можно представить в виде , где f – функция логарифмирования по основанию 3 , а g(x) есть сумма двух функций и . То есть, .

    Во-вторых, займемся функцией h(x) . Она представляет собой отношение к .

    - это сумма двух функций и , где - сложная функция с числовым коэффициентом 3 . - функция возведения в куб, - функция косинуса, - линейная функция.

    - это сумма двух функций и , где - сложная функция, - функция экспоненцирования, - степенная функция.

    Таким образом, .

    В-третьих, переходим к , которая представляет собой произведение сложной функции и целой рациональной функции

    - функция возведения в квадрат, - функция логарифмирования по основанию e .

    Следовательно, .

    Теперь структура функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой последовательности применять при ее дифференцировании.

    В разделе дифференцирование функции (нахождение производной) Вы можете ознакомиться с решением подобных задач.



    Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции
    Смешанное произведение векторов


    Узнать стоимость за 15 минут
    • Тип работы
    • Часть диплома
    • Дипломная работа
    • Курсовая работа
    • Контрольная работа
    • Реферат
    • Научно - исследовательская работа
    • Отчет по практике
    • Ответы на билеты
    • Тест/экзамен online
    • Монография
    • Эссе
    • Доклад
    • Компьютерный набор текста
    • Компьютерный чертеж
    • Рецензия
    • Перевод
    • Репетитор
    • Бизнес-план
    • Конспекты
    • Проверка качества
    • Единоразовая консультация
    • Аспирантский реферат
    • Магистерская работа
    • Научная статья
    • Научный труд
    • Техническая редакция текста
    • Чертеж от руки
    • Диаграммы, таблицы
    • Презентация к защите
    • Тезисный план
    • Речь к диплому
    • Доработка заказа клиента
    • Отзыв на диплом
    • Публикация статьи в Вак
    • Публикация статьи в Scopus
    • Дипломная работа MBA
    • Повышение оригинальности
    • Шрифт, pt
    • 12 pt
    • 14 pt
    • Другой
    Прикрепить файл
    Заказать