Доказательство формулы производной сложной функции

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:

где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x . Функция дифференцируема при значении переменной .

Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:

Формулу (1) также можно записать так:

Доказательство

Введем следующие обозначения.

Здесь есть функция от переменных и , есть функция от переменных и . Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:

Рассмотрим следующую функцию:

При фиксированном значении переменной u , является функцией от . Очевидно, что

Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке , то она непрерывна в этой точке. Поэтому

Теперь находим производную.

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции

то ее производная определяется по формуле

Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию

Рассмотрим исходную функцию

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных.

Пусть функцию , зависящую от переменной x , можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:

и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;

– функция от двух переменных, дифференцируемая в точке , . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:

В силу непрерывности этих функций в точке имеем:

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:

При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и :

Поскольку и , то

Производная сложной функции :

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных, то

, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;

– дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .

Тогда, из определения дифференцируемости функции , имеем:

Поскольку, в силу непрерывности,

Разделив (4) на и выполнив предельный переход , получим:

И, наконец, рассмотрим самый общий случай.

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:

есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;

– дифференцируемая функция от n переменных в точке

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-11-2016 Изменено: 01-02-2017



Метод неопределенных коэффициентов