Примеры вычисления производных высших порядков явных функций

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:

Дифференцируя функцию по переменной x , получаем производную первого порядка, или просто производную:

В результате получаем новую функцию , которая является производной функции . Дифференцируя эту новую функцию по переменной x , получаем производную второго порядка:

Дифференцируя функцию , получаем производную третьего порядка:

И так далее. Дифференцируя исходную функцию n раз, получаем производную n -го порядка или n-ю производную:

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Полезные формулы производных n-го порядка

Производные некоторых элементарных функций:

Производная суммы функций:

Формула Лейбница производной произведения двух функций:

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных:

Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:

Итак, мы нашли производную первого порядка:

Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:

Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой :

Тогда производная второго порядка от исходной функции является производной от функции :

Находим производную от функции . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1):

Но – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.

Подставляем в (П1.2):

Пример 2

Найти производную третьего порядка:

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции .

Итак, мы нашли производную первого порядка:

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от . Применяем формулу производной дроби.

Производная второго порядка:

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем .

Производная третьего порядка равна

Найти производную шестого порядка следующей функции:

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени . Запишем ее в виде многочлена:

где – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции:

Для производной шестого порядка ( n = 6 ) имеем:

Отсюда видно, что при . При имеем:

Используем формулу производной суммы функций:

Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:

Пример 4

Найти n-ю производную функции

Найти n-ю производную следующей функции:

где и – постоянные.

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию

где и – функции от действительной переменной x ;

Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:

Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций и определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию

Здесь мы применили формулу Эйлера

и ввели обозначение

Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:

Найдем n-ю производную функции

Для этого применим формулу:

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции :

Найдем действительную часть функции .

Для этого представим комплексное число в показательной форме:

И мы получаем формулу n-й производной косинуса:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-12-2016



Непрерывность функции в точке
Длина и направление вектора