Взаимное расположение прямой и плоскости.

Основные задачи на прямую и плоскость

Как Волга неизбежно впадает в Каспийское море, так и плоскость в пространстве неминуемо встречается с прямой линией. И вот, после рассмотрения уравнения плоскости, уравнений пространственных прямых с типовыми задачами, настал долгожданный момент встретить бурными аплодисментами ещё целую группу примеров на плоскость и прямую в пространстве. Со многими приёмами решений мы уже знакомы из предыдущих уроков, поэтому особых трудностей возникнуть не должно. И сейчас я расскажу вам сказочку: Жили-были плоскость и прямая…. …так, стоп, надо умерять свои писательские потребности, а то сейчас уже пойдут откровенные гонки =) Давно думаю о своём блоге, да всё времени не хватает…. Высшей математики целый океан, и я приглашаю всех читателей зачистить бананы на очередном острове:

Взаимное расположение прямой и плоскости

Рассмотрим плоскость и прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2) прямая параллельна плоскости: ;

3) прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос. Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:

Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор не ортогонален вектору нормали плоскости.

Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

В координатах условие запишется следующим образом:

Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:

Разграничим данные случаи.

Если прямая параллельна плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .

Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:

Если прямая лежит в плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: .

Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой:

Разборки с взаимным расположением прямой и плоскости достаточно примитивны – всего в два шага. Кроме того, на практике можно обойтись даже без всяких систем. Исследование взаимного расположения прямых в пространстве, которое проводилось на уроке Задачи с прямой в пространстве, намного трудозатратнее. А тут всё проще:

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором , и плоскости .

Решение: Вытащим вектор нормали плоскости: .

Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.

Ответ: прямая лежит в плоскости

Выяснить взаимное расположение плоскости и прямой .

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

После небольшой разминки мускулатуры начинаем накидывать блины на штангу:

Основные задачи на прямую и плоскость

Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет….

Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример:

Дана прямая и плоскость . Требуется:

а) доказать, что прямая пересекает плоскость;

б) найти точку пересечения прямой и плоскости;

в) через прямую провести плоскость («омега»), перпендикулярную плоскости ;

г) найти проекцию прямой на плоскость ;

д) найти угол между прямой и плоскостью .

НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)

Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:

а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:

Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:

, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.

Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр:

Приём решения стандартен и хорошо известен из статьи Задачи с прямой в пространстве. Сначала перепишем уравнения прямой в параметрической форме:

Точка принадлежит данной прямой, поэтому её координаты при некотором значении параметра удовлетворяют параметрическим уравнениям:

, или одной строчкой: .

С другой стороны, точка принадлежит и плоскости , следовательно, координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть должно выполняться равенство:

– ну, или попросту параметрические координаты точки нужно подставить в уравнение плоскости.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим «тэ нулевое»:

– полученное значение параметра подставляем в параметрические выражения координат нашей точки:

Интересно, что в данном пункте всё обошлось даже без векторов.

Чистка хвоста очевидна: координаты точки должны «подходить» и в уравнения прямой и в уравнение плоскости. Проверку несложно выполнить устно.

в) Найдём уравнение плоскости , которая перпендикулярна плоскости и проходит через прямую . Задача весьма напоминает Пример №12 урока Уравнение плоскости, в котором мы рассмотрели построение перпендикулярной плоскости, проходящей через две точки.

Выполним схематический чертёж:

Уравнение плоскости можно составить по любой точке, которая принадлежит прямой , направляющему вектору прямой и вектору нормали плоскости .

В качестве точки, принадлежащей прямой «дэ», не возбраняется, конечно, взять найденную в предыдущем пункте точку пересечения , но в произвольной практической задаче она чаще всего не известна. Поэтому обычно используют самую «лёгкую добычу». В данном случае, очевидно, точку:

.

Уравнение плоскости «омега» составим по точке и двум неколлинеарным векторам :

Таким образом:

Проверка опять же довольно простая. Устно находим скалярное произведение нормальных векторов двух плоскостей. Оно равно нулю, значит, плоскости перпендикулярны. На втором шаге необходимо убедиться, что прямая «дэ» действительно лежит в найденной плоскости «омега». Можно использовать типовой алгоритм, рассмотренный в самом начале урока. Но тут есть другая возможность – устно подставляем координаты двух известных точек в полученное уравнение плоскости . Обе точки «подходят», и это гарантирует, что и вся прямая лежит в плоскости .

Как найти уравнения проекции прямой на плоскость?

г) Что такое проекция прямой на плоскость?

Физкульт-пятиминутка. Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между своих ног. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. Скрытая от вас часть пола – это и есть проекция швабры на плоскость. Да… …а я как погляжу, вы без комплексов =)

На чертеже наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:

Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме. Это стандартная задача, рассмотренная в Примерах №№9,10 урока Уравнения прямой в пространстве.

Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор:

Таким образом, канонические уравнения проекции:

Обратите внимание, что на практике для решения данной задачи, в общем-то, не надо находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции. Красавица подбирается из системы (см. Примеры №№9,10 урока Уравнения прямой в пространстве).

Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но, я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:

– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);

– из произвольной точки (не совпадающей с точкой ) опускаем перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);

– основание перпендикуляра находим как пересечение прямой и плоскости ;

– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .

Как найти угол между прямой и плоскостью?

д) Логическое продолжение темы.

Если прямая не перпендикулярна плоскости , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и её проекцией на плоскость . Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90 градусов.

Продолжим эксплуатацию геометрического инвентаря:

Справедлива следующая формула синуса угла между прямой и плоскостью:

Таким образом, для нахождения данной угла достаточно знать лишь нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой. При необходимости вывод формулы можно посмотреть, например, в учебнике Атанасяна-Базылева. А мы займёмся практическим решением.

Скалярное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Обратите внимание, что в формуле скалярное произведение находится под знаком модуля, который «съедает» возможный «минус».

Вычислим длины векторов:

По формуле:

На иррациональность в знаменателе забиваем, поскольку нам нужен сам угол:

Выложим в ряд головы очередного Змея-Горыныча:

а) , значит, прямая пересекает плоскость;

б) ;

в) ;

г) ;

д)

Переходим к рассмотрению частного случая – когда:

Прямая перпендикулярна плоскости

В данном параграфе мы разберём ещё несколько распространённых задач. Чувствую, вы немного заскучали, поэтому пора предложить живительные примеры для самостоятельного решения. А потом ещё десяток =)

Дана плоскость и точка . Требуется:

а) составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку , перпендикулярно данной плоскости;

б) найти точку пересечения перпендикулярной прямой и плоскости;

в) найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

Выполним схематический чертёж и коротко разберём алгоритм решения:

а) Как составить уравнения перпендикулярной прямой «дэ», думаю, объяснять не нужно. Подсказка есть прямо на чертеже.

б) Точка пересечения перпендикулярной прямой и плоскости находится обычным способом (см. п. «б» предыдущего примера). К слову, точка является проекцией прямой на плоскость «сигма».

в) Рассмотрим отрезок . Если точка симметрична точке относительно плоскости, то, очевидно . Саму длину перпендикуляра мы рассчитывали в Примере №9 на уроке Уравнение плоскости, но сейчас речь не о длине. Точка делит отрезок пополам. По условию нам дан один из концов отрезка , а в предыдущем пункте найдена середина . Таким образом, по формулам деления отрезка пополам, нетрудно найти координаты нужной точки .

Полное решение и ответ в конце урока. Постарайтесь не заглядывать в образец, сложного-то здесь ничего нет.

Вопрос очевидный, но на всякий случай коснёмся обратной задачи: как составить уравнение плоскости, которая проходит через данную точку перпендикулярно данной прямой? Берём направляющий вектор прямой – он же является вектором нормали плоскости.

Поставлю и другую заплату, вроде в явном виде нигде не упоминал: можно ли составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, не принадлежащую прямой? Да, конечно, причём плоскость будет определена однозначно. Конкретный пример можно посмотреть в Пункте №12 задачи с треугольной пирамидой.

Все задачи на пересечение прямой и плоскости, пожалуй, исчерпаны, теперь рассмотрим что-нибудь на прямую, параллельную плоскости. Таких примеров я отыскал совсем немного, и решил приютить одного сироту:

Даны скрещивающиеся прямые . Через прямую провести плоскость, параллельную прямой .

Решение: Задача простая, но всё равно выполним схематический чертёж:

По условию требуется найти уравнение плоскости , которая проходит через прямую параллельно второй прямой.

Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам.

Поскольку прямая должна лежать в плоскости , то нам подойдёт произвольная точка , принадлежащая первой прямой, и её направляющий вектор:

С другой стороны, плоскость должна быть параллельна прямой , а, значит, и её направляющему вектору .

Так как прямые скрещиваются, то их направляющие векторы будут не коллинеарны.

Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :

Ответ:

Используя материалы начала урока, можно выполнить проверку – убедиться, что первая прямая действительно лежит в полученной плоскости, а вторая прямая – параллельна ей.

Аналогично можно составить уравнение плоскости , которая проходит через прямую параллельно прямой . Решение будет точно таким же, изменится только точка – необходимо взять какую-нибудь точку, принадлежащую второй прямой. Очевидно, что данные плоскости будут параллельны: .

Другие задачи по пространственной геометрии можно закачать на странице Бесплатные решения задач по высшей математике, только что заново пересмотрел свой архив, несколько десятков примеров точно есть.

По ходу создания данного урока мне совершенно случайно попалась на глаза одна методичка для студентов-заочников, где среди прочих заданий, как раз есть десять задач по аналитической геометрии в пространстве. Находка оказалась очень своевременной и удачной, поскольку предоставила отличную возможность дополнительно наполнить эту статью полезным материалом, а также прикинуть, насколько пОлно я рассмотрел всю тему. То есть, провести ещё и небольшое самотестирование.

Добро пожаловать в «реальные боевые условия»:

Я перепишу условия всех десяти задач и кратко прокомментирую, как их решать. Желающие могут частично или полностью выполнить данные задания, правильные ответы – в конце урока.

1) Из точки опустить перпендикуляр на плоскость

Смотрите Пример №4 данного урока, пункт «а».

2) Найти проекцию точки на плоскость

Проекция точки на плоскость – это в точности основание перпендикуляра, смотрите Пример №4 данного урока, пункт «б».

3) Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости .

Смотрите Пример №3 данного урока, пункт «в».

4) Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям и .

Вот этой задачи нигде не встречалось. Уравнение искомой плоскости нужно составить по точке и двум нормальным векторам плоскостей.

6) Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость

7) Найти уравнение плоскости, зная, что точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Фактически нужно составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали , где точка – начало координат.

8) Найти расстояние от точки до прямой .

9) Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную прямой .

10) Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

Ну что же, из 10 пробных задач не разобрана только одна (№5), да и та простая. Таким образом, примерно с 90%-ной вероятностью, вы должны найти то, что нужно. Иногда, конечно, встречаются трудные задачи или задачи с дОнельзя зашифрованным условием, но это редкость.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдем направляющий вектор и точку, принадлежащую прямой:

Найдём вектор нормали плоскости:

.

Вычислим скалярное произведение:

, значит, прямая параллельна плоскости или лежит в ней.

Подставим координаты точки в уравнение плоскости :

Получено неверное равенство, значит, точка не лежит в плоскости , и все точки прямой не лежат в данной плоскости.

Ответ:

а) Найдём вектор нормали плоскости: . Уравнения перпендикулярной прямой составим по точке и вектору нормали :

б) Перепишем уравнения прямой в параметрической форме:

Основание перпендикуляра принадлежит данной прямой, и координатам данной точки соответствует определённое значение параметра: . Но точка также принадлежит и плоскости. Подставим параметрические координаты в уравнение плоскости:

– подставим найденное значение параметра в параметрические координаты точки:

в) Координаты симметричной точки найдем по формулам координат середины отрезка:

Таким образом:

а) ;

б) ;

в) .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com



Формула прямоугольников


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать