Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби. Первая часть.

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_^a_x^=a_<0>x^+a_<1>x^+a_<2>x^+\ldots+a_x+a_n$. Например, выражение $4x^<14>+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_<14>(x)=4x^<14>+87x^2+4x-11$.

Отношение двух многочленов $\frac$ называется рациональной функцией или рациональной дробью. Если более точно, то это рациональная функция одной переменной (т.е. переменной $x$).

Рациональная дробь называется правильной, если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной.

Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.

1) Данная дробь не является рациональной, поскольку содержит $\sin x$. Рациональная дробь этого не допускает.

2) Мы имеем отношение двух многочленов: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Следовательно, согласно определению, выражение $\frac<5x^2+3x-8><11x^9+25x^2-4>$ есть рациональная дробь. Так как степень многочлена в числителе равна $2$, а степень многочлена в знаменателе равна $9$, то данная дробь является правильной (ибо $2 < 9$).

3) И в числителе, и в знаменателе данной дроби расположены многочлены (разложенные на множители). Нам совершенно неважно, в какой форме представлены многочлены числителя и знаменателя: разложены они на множители или нет. Так как мы имеем отношение двух многочленов, то согласно определению выражение $\frac<(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)><(5x+4)(3x^2+9)^<15>(15x^<10>+9x-1)>$ есть рациональная дробь.

Дабы ответить на вопрос о том, является ли данная дробь правильной, следует определить степени многочленов в числителе и знаменателе. Начнём с числителя, т.е. с выражения $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для определения степени этого многочлена можно, конечно, раскрыть скобки. Однако разумно поступить гораздо проще, ибо нас интересует лишь наибольшая степень переменной $x$. Выберем из каждой скобки переменную $x$ в наибольшей степени. Из скобки $(2x^3+8x+4)$ возьмём $x^3$, из скобки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ возьмём $(x^4)^9=x^<4\cdot9>=x^<36>$, а из скобки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ выберем $x^7$. Тогда после раскрытия скобок наибольшая степень переменной $x$ будет такой:

Степень многочлена, расположенного в числителе, равна $46$. Теперь обратимся к знаменателю, т.е. к выражению $(5x+4)(3x^2+9)^<15>(15x^<10>+9x-1)$. Степень этого многочлена определяется так же, как и для числителя, т.е.

В знаменателе расположен многочлен 41-й степени. Так как степень многочлена в числителе (т.е. 46) не меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 41), то рациональная дробь $\frac<(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)><(5x+4)(3x^2+9)^<15>(15x^<10>+9x-1)>$ является неправильной.

4) В числителе дроби $\frac<3><(5x^6+4x+19)^4>$ стоит число $3$, т.е. многочлен нулевой степени. Формально числитель можно записать так: $3x^0=3\cdot1=3$. В знаменателе имеем многочлен, степень которого равна $6\cdot 4=24$. Отношение двух многочленов есть рациональная дробь. Так как $0 < 24$, то данная дробь является правильной.

Ответ: 1) дробь не является рациональной; 2) рациональная дробь (правильная); 3) рациональная дробь (неправильная); 4) рациональная дробь (правильная).

Теперь перейдём к понятию элементарных дробей (их ещё именуют простейшими рациональными дробями). Существуют четыре типа элементарных рациональных дробей:

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.

Задача состоит в следующем: заданную правильную рациональную дробь представить в виде суммы элементарных рациональных дробей. Решению этой задачи и посвящён материал, изложенный на данной странице. Для начала нужно убедиться, что выполнено следующее условие: многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

  1. Каждой скобке вида $(x-a)$, расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac$.
  2. Каждой скобке вида $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac+\frac<(x-a)^2>+\frac<(x-a)^3>+\ldots+\frac<(x-a)^n>$.
  3. Каждой скобке вида $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q < 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac$.
  4. Каждой скобке вида $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac+\frac<(x^2+px+q)^2>+\frac<(x^2+px+q)^3>+\ldots+\frac<(x^2+px+q)^n>$.

Если же дробь неправильная, то перед применением вышеизложенной схемы следует разбить её на сумму целой части (многочлен) и правильной рациональной дроби. Как именно это делается, разберём далее (см. пример №2 пункт 3). Пару слов насчёт буквенных обозначений в числителях (т.е. $A$, $A_1$, $C_2$ и тому подобные). Буквы можно использовать любые – на свой вкус. Важно лишь, чтобы эти буквы были различными во всех элементарных дробях. Чтобы найти значения этих параметров применяют метод неопределённых коэффициентов или метод подстановки частных значений (см. примеры №3, №4 и №5).

Разложить заданные рациональные дроби на элементарные (без нахождения параметров):

1) Имеем рациональную дробь. В числителе этой дроби расположен многочлен 4-й степени, а в знаменателе многочлен, степень которого равна $17$ (как определить эту степень детально пояснено в пункте №3 примера №1). Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то данная дробь является правильной. Обратимся к наменателю этой дроби. Начнём со скобок $(x-5)$ и $(x+2)^4$, которые полностью подпадают под вид $(x-a)^n$. Кроме того, имеются ещё и скобки $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$. Выражение $(x^2+3x+10)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=3$; $q=10$, $n=1$. Так как $p^2-4q=9-40=-31 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила (1)-(4), изложенные выше. Согласно правилу (1) скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac$. Это можно записать так:

Согласно правилу (2) скобке $(x+2)^4$ будет соответствовать сумма четырёх дробей $\frac+\frac<(x+2)^2>+\frac<(x+2)^3>+\frac<(x+2)^4>$. Допишем эту сумму к уже имеющемуся разложению:

Согласно правилу (3) скобке $(x^2+3x+10)$ будет соответствовать дробь $\frac$. Допишем эту дробь к разложению:

И, наконец, согласно правилу (4) скобке $(x^2+11)^5$ будет соответствовать сумма пяти дробей $\frac+\frac<(x^2+11)^2>+\frac<(x^2+11)^3>+\frac<(x^2+11)^4>+\frac<(x^2+11)^5>$. Допишем эту сумму к уже имеющемуся разложению и задача будет решена, ибо все скобки знаменателя исчерпаны:

2) Имеем рациональную дробь. Степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 9), поэтому данная дробь – правильная. Обратимся к знаменателю. Скобка $(x-2)^3$ подпадает под вид $(x-a)^n$, посему пойдём далее. Скобка $(x^3-8)$ не подпадает ни под вид $(x-a)^n$ ни под вид $(x^2+px+q)^n$. Это говорит о том, что скобку $(x^3-8)$ необходимо разложить на множители. Сие легко сделать, если вспомнить формулу разности кубов:

Скобка $(x-2)$ подпадает под вид $(x-a)^n$. Скобка $(x^2+2x+4)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=2$, $q=4$, $n=1$. При этом $p^2-4q=4-16=-12 < 0$, посему дальнейшее разложение невозможно. Итак, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, поэтому знаменатель станет таким:

Пойдём далее. Следующая скобка на очереди – это $(3x+5)$. Эта скобка подпадала бы под форму $(x-a)^n$, если бы не коэффициент $3$ перед $x$. Вынесем эту тройку за скобку: $(3x+5)=3\cdot\left(x+\frac<5><3>\right)$. Знаменатель теперь преобразится таким образом:

Теперь настало время для скобки $(3x^2-x-10)$. Она подпадала бы под форму $(x^2+px+q)^n$, если бы не "лишний" коэффициент $3$ перед $x^2$. Кроме того, скобка $(3x^2-x-10)$ разложима на множители, в чём несложно убедиться, решив соответствующее квадратное уравнение:

Так как $3x^2-x-10=3\cdot \left(x+\frac<5><3>\right)(x-2)$, то знаменатель станет таким:

$$ 3\cdot (x-2)^4(x^2+2x+4)\left(x+\frac<5><3>\right)(3x^2-x-10)=\\ =9\cdot (x-2)^4(x^2+2x+4)\left(x+\frac<5><3>\right)\left(x+\frac<5><3>\right)(x-2)= 9\cdot (x-2)^5(x^2+2x+4)\left(x+\frac<5><3>\right)^2 $$

И сама исходная дробь ныне станет такой:

Теперь можно перейти непосредственно к элементарным дробям. Действуя точно так же, как и в пункте №1 этого примера, будем иметь:

3) Имеем рациональную дробь. Степень могочлена в числителе (т.е. 5) не меньше степени многочлена в знменателе (т.е. 3), посему данная дробь является неправильной. Следовательно, перед тем, как раскладывать данную рациональную дробь на элементарные, придётся выделить целую часть (многочлен). Для этого разделим многочлен, расположенный в числителе, на многочлен в знаменателе. Используем способ деления "уголком":

Полученный результат можно записать так:

Дробь $\frac<4x^2+x+22>$ является правильной рациональной дробью, ибо степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 3). Теперь обратимся к знаменателю данной дроби. В знаменателе расположен многочлен, который нужно разложить на множители. Иногда для разложения на множители полезна схема Горнера, но в нашем случае проще обойтись стандартным "школьным" методом группировки слагаемых:

Применяя те же методы, что и в предыдущих пунктах, получим:

Итак, окончательно имеем:

Продолжение этой темы будет рассмотрено во второй части.



Как найти центр тяжести плоской фигуры?


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать