Аналитическая геометрия (2)

Координата точки на прямой

Если всю ось обозначить Ох, а через x 1 – величину отрезка О x 1, то точка А, находящаяся в точке x 1, (Рис.2) будет иметь координату x 1: А( x 1).

В аналитической геометрии точка считается заданной, если заданы ее координаты.

Расстояние между точками на прямой

Пусть заданы точки М( x 1) и М( x 2), тогда расстояние между ними определяется как

Из координат конца вычитаются координаты начала отрезка, а результат берется по абсолютной величине.

Пример 1 (расстояние между точками на прямой)

Найти расстояние между точками М1(- 2) и М2(3) (Рис.3).

В нашем случае x 1 = - 2, x 2 = 3, откуда

Т.е. длина отрезка Обратите внимание: здесь и далее длины и площади измеряются или в единицах, или в единицах в квадрате (аналитическая геометрия знает, что такое единица длины и понятия не имеет ни о метрах, ни о дюймах!).

1.2 Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова система координат

Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых является точка начала отсчета и определено, какая из осей является первой, а какая второй, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат (далее для ее названия будем использовать аббревиатуру – ПДСК)

Расстояние между точками на плоскости

Пусть на плоскости заданы точки М1( x 1; y 1) и М2( x 2; y 2), найти расстояние между ними, т.е. найти

Т.к. треугольник М1М2В прямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что

,

то окончательно получаем, что

Полярные координаты и их связь с декартовыми координатами

Пусть точка М на плоскости задана так, что (см. Рис.5)

Где точка 0 – полюс, луч 0А – полярная ось, - полярный радиус, φ – полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси – в нашем случае от направления полярной оси).

Если совместить две системы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало – точку 0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлением оси 0 x (см. Рис.6), то будет понятно – как связаны ПДСК и полярная системы координат.

Для большего удобства переходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат

Выражение декартовых координат

Выражение полярных координат

Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)

Найти расстояние между точками

Координаты точек заданы в полярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных в ПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.

Из таблицы взаимосвязи полярных и декартовых координат получаем, что для точки

,

или, координаты точки М в ПДСК - .

Аналогично находим и координаты точки N :

,

или, координаты точки N в ПДСК - .

А вот теперь, окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости», получаем, что

Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК

Пусть в ПДСК задан произвольный треугольник ABC : А( x 1, y 1), B ( x 2, y 2) и C ( x 3, y 3), тогда площадь треугольника S ABC определяется выражением

Поскольку точки могут быть пронумерованы в произвольном порядке, знак определителя может изменяться. В силу чего существует правило: результат берется по абсолютной величине (по модулю).

Деление отрезка в данном отношении

Прежде всего, о смысле выражения «деление отрезка в данном отношении».

Пусть точка В делит отрезок А1А2 (см. Рис.7)

Тогда , т.е., если , то . Но если отрезок «прочитать» по-другому: не А1А2, а А2А1, то

Откуда важный вывод: при разбиении отрезка в отношении λ, важно как устроена дробь

т.е. важно, в каком направлении читается отрезок: А1А2, или А2А1.

Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

.

Следствие: если точка В делит отрезок А1А2 пополам, т.е. λ = 1 (почему?), то

.

Пример 3 (о нахождении координат точки, делящей отрезок в данном отношении)

Известно, что точки А(- 2; 5) и В(4; 17) – концы отрезка АВ. Внутри этого отрезка находится точка С, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Найти координаты точки С( x ; y ).

По условию задачи , откуда

.

,

Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)

Треугольник АВС задан координатами вершин: А( x 1; y 1), B ( x 2; y 2) и C ( x 3; y 3). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.

Для нахождения координат точки М использует свойство точки пересечения медиан: эта точка разбивает отрезок С D в отношении 2:1, считая от вершины С,

Уравнение линии

Уравнением данной линии назовем такое уравнение F ( x ; y ) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки, принадлежащей этой линии, и не принадлежат точки, не удовлетворяющие уравнению (удовлетворяет уравнению – значит координаты, точки, будучи подставленными в уравнение, обращают уравнение в тождество).



Методы Эйлера и Рунге-Кутты


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать