Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Теоретические основые метода Гаусса изложены в первой части данной темы. Здесь же мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Напомню преобразования, допустимые в методе Гаусса:

  1. Смена мест двух строк;
  2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
  3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
  4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Замечание относительно пункта №4: некоторые авторы не вычёркивают нулевые строки, а опускают их в низ расширенной матрицы системы. Я предпочитаю не копить внизу матрицы нулевые строки, поэтому считаю удобным просто вычёркивать их по мере появления.

Кстати, на любом шаге решения можно вычёркивать также повторяющиеся строки – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены. Если Вы не заметите повторяющиеся строки – не беда, они всё равно позже станут нулевыми.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_1$ и $x_3$ поменялись местами во всех уравнениях.

Во всех примерах $A$ обозначает матрицу системы, $\widetilde$ – расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть здесь.

Решить СЛАУ $ \left\ <\begin& x_1+2x_2=11;\\ & 3x_1-x_2=12. \end\right.$ методом Гаусса.

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой формализированный метод сложения. Для начала избавимся от переменной $x_1$ во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$:

$$ 3x_1-x_2-3\cdot (x_1+2x_2)=12-3\cdot 11;\\ 3x_1-x_2-3x_1-6x_2=12-33;\\ -7x_2=-21. $$

Обычно первое уравнение системы обозначают римской цифрой $I$, а второе уравнение – римской цифрой $II$. И фразу "из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$" записывают коротко: $II-3\cdot I$. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

Разделив обе части второго уравнения $-7x_2=-21$ на (-7) имеем: $x_2=\frac<-21><-7>=3$. Сокращённо деление обеих частей второго уравнения на (-7) записывают так: $II:(-7)$. При этом система примет вид:

Переменная $x_2$ найдена. Осталось определить значение переменной $x_1$. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную $x_2$. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие $I-2\cdot II$). Первое уравнение станет таким:

$$ x_1+2x_2-2\cdot x_2=11-2\cdot 3;\\ x_1=11-6=5. $$

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: $\left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right)$. Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

Отсюда имеем: $x_1=5$, $x_2=3$. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы $\left( \begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right)$ соответствует уравнению $0\cdot x_1-7\cdot x_2=-21$, $-7x_2=-21$.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению неоднородных СЛАУ с большим количеством переменных.

Решить СЛАУ $ \left\ < \begin& 2x_1+10x_2-3x_3=38;\\ & -3x_1-12x_2+13x_3=-82;\\ & x_1+3x_2-5x_3=27. \end \right.$ методом Гаусса.

При решении методом Гаусса удобно (но вовсе не обязательно), чтобы первый элемент первой строки расширенной матрицы системы равнялся единице, посему поменяем местами первую и третью строки матрицы $\widetilde$. Для самой системы это означает, что первое и третье уравнение поменяли местами: естественно, решение системы от этого не изменится.

Напомню, что менять местами строки расширенной матрицы системы можно на любом этапе решения методом Гаусса. При необходимости можно менять местами столбцы матрицы системы, однако нужно помнить, что при этом меняется порядок расположения переменных в уравнениях. Например, если мы меняем местами пятый и седьмой столбцы матрицы системы, это означает, что пятая и седьмая переменные (вместе со своими коэффициентами) поменялись местами во всех уравнениях заданной СЛАУ.

Итак, расширенная матрица системы стала такой: $\widetilde=\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -12& 13 & -82 \\ 2 & 10& -3& 38 \end \right)$.

Метод Гаусса работает в два этапа: прямой ход и обратный (см. первую часть данной темы). В предыдущем примере внимание на этом не акцентировалось, ибо пример был тривиальным, но во всех остальных примерах каждый этап будет рассмотрен пошагово.

Прямой ход метода Гаусса имеет своей целью приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду. Есть ли решения у системы (система совместна) или же решений нет (система несовместна) выяснится именно здесь, в конце прямого хода метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Вновь обратимся к расширенной матрице системы: $\left( \begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -12& 13 & -82 \\ 2 & 10& -3& 38 \end \right)$.

Исключим из второго и третьего уравнений переменную $x_1$, используя первое уравнение. Для матричной формы записи это означает обнуление элементов первого столбца, лежащих под первой строкой. Эти элементы выделены на рисунке серым цветом. А элемент, который будем использовать для обнуления, выделен красным цветом:

Мы станем изменять строки расширенной матрицы системы. Цель этих изменений: получить нули вместо "серых" элементов. Действия, которые мы осуществим с второй и третьей строками, показаны на рисунке:

Итак, нам нужны выполнить два преобразования со строками: $II-\frac<-3><1>\cdot I$ и $III-\frac<2><1>\cdot I$. Так как $\frac<-3><1>=-3$ и $\frac<2><1>=2$, то выражения для преобразований станут такими: $II+3\cdot I$, $III-2\cdot I$. Запись $II+3\cdot I$ означает, что к элементам второй строки прибавляются соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3. А запись $III-2\cdot I$ говорит о том, что от элементов третьей строки вычитаются соответствующие элементы первой строки, умноженные на два. Если выполнение подобных операций в уме затруднительно (а поначалу именно так и бывает), то выпишите изменяемые строки отдельно. Например, так:

После осуществления требуемых преобразований со строками запишем полученную матрицу. Первую строку мы не трогали, поэтому её перепишем без изменений:

Итак, на первом шаге прямого хода мы обнулили элементы первого столбца (расположенные под первой строкой), используя первую строку. Нулевых строк не возникло, вычёркивать нечего. Строк вида $\left(\begin 0&0&0&x\end\right)$, где $x\neq<0>$ также нет, поэтому можем продолжать решение методом Гаусса. Напомню, что если бы появилась хоть одна строка такого вида, то это означало бы, что система не имеет решений.

На втором шаге прямого хода станем обнулять элементы второго столбца (расположенные под второй строкой), используя вторую строку. Т.е. обнулить нужно элемент, выделенный серым цветом. А использовать для обнуления будем элемент, выделенный красным. Преобразование, которое нужно выполнить, аналогично тому, что выполнялось на первом шаге:

Нужно выполнить действие $III-\frac<4><-3>=III+\frac<4><3>\cdot II$, т.е. к третьей строке прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на $\frac<4><3>$. Тогда вместо третьей строки получим:

При этом расширенная матрица системы станет такой: $\left( \begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -3& -2 & -1 \\ 0 & 0& 13/3& -52/3 \end \right)$. Это путь классического метода Гаусса, и если бы коэффициенты системы не были целыми числами, мы пошли бы именно этим путём.

Однако коэффициенты нашей системы – целые числа, поэтому переход к дробям можно отложить (или вообще избежать работы с дробями). Вместо "классического" действия $III+\frac<4><3>\cdot II$ осуществим иное преобразование: к третьей строке, умноженной на $3$, прибавим вторую строку, умноженную на $4$:

Расширенная матрица системы станет такой: $\left( \begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -3& -2 & -1 \\ 0 & 0& 13& -52 \end \right)$

Заметьте, оба действия ($III+\frac<4><3>\cdot II$ и $3\cdot III+4\cdot II$) позволяют добиться цели: обнулить "серый элемент" во втором столбце. Однако при выполнении операции $3\cdot III+4\cdot II$ не появились дроби, работать с которыми гораздо менее удобно, нежели с целыми числами. Скажу так: выбор способа в каждом конкретном случае остаётся на усмотрение решающего. Отмечу, что во всех учебных задачах коэффициенты систем целочисленны, поэтому в примерах на данной странице мы будем выбирать второй путь, ибо он позволяет избежать действий с дробями. Итак:

Прямой ход метода Гаусса закончен. Матрица системы (матрица слева от разделительной черты) стала ступенчатой.

Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход – записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна.

Обратный ход метода Гаусса

Если до этого мы «делали» нули под главной диагональю матрицы системы, то теперь настал черёд обнулить числа, расположенные над главной диагональю матрицы системы.

Разделим третью строку расширенной матрицы системы на $13$:

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой (эти элементы $-5$ и $-2$ выделены серым цветом):

Выполняя требуемые преобразования с первой и второй строками, получим:

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

Разделим вторую строку на $(-3)$:

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой (этот элемент $3$ выделен серым цветом):

Осуществив требуемое преобразование с первой строкой мы завершим обратный ход метода Гаусса:

Решение системы окончено. Ответ таков: $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=-4$. Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:

$ \left\ < \begin& x_1-10x_2+3x_3=51;\\ & 3x_1-26x_2+8x_3+3x_4=141;\\ & -5x_1+47x_2-15x_3+5x_4=-225;\\ & 6x_2+2x_3-7x_4=-49;\\ & x_1-16x_2+3x_3+10x_4=111. \end \right.$

Доказать, что заданная СЛАУ имеет единственное решение и найти его методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Обнуляем элементы первого столбца (под первой строкой), используя первую строку. Первым элементом четвертой строки уже является ноль, поэтому четвертую строку изменять не будем.

Упростим пятую строку, разделив все её элементы на $2$:

Заметьте, что третья и пятая строки одинаковы (т.е. соответствующие элементы этих строк равны). Вычеркнем одну из них. Например, убирая пятую строку, получим:

Напомню, что удалять повторяющиеся строки (оставляя одну из них), а также вычеркивать нулевые строки можно на любом шаге метода Гаусса. Если бы мы сейчас не заметили повтор строки, то впоследствии эта строка стала бы нулевой, и мы всё равно бы от неё избавились.

Обнуляем элементы второго столбца (под второй строкой), используя вторую строку. Следуя классическому методу Гаусса нам пришлось бы выполнить такие преобразования: $III+\frac<3><4>\cdot II$ и $IV-\frac<3><2>\cdot II$. Однако чтобы избежать работы с дробями, выполним иные преобразования: $4\cdot III+3\cdot II$ и $IV-3\cdot II$. В любом случае мы добъёмся цели: обнулим элементы второго столбца под второй строкой.

Обнуляем элементы третьего столбца (под третьей строкой), используя третью строку:

Итак, ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных ($\rang\widetilde=\rang=4$). Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, такая система имеет единственное решение (т.е. является определённой). Найдем это решение с помощью обратного хода метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Разделим четвёртую строку на $134$:

Обнуляем элементы четвёртого столбца (над четвёртой строкой), используя четвёртую строку:

Разделим третью строку на $(-3)$:

Обнуляем элементы третьего столбца (над третьей строкой), используя третью строку:

Разделим вторую строку на 4:

Обнулим элемент второго столбца (над второй строкой), используя вторую строку:

Решить СЛАУ $ \left\ < \begin& x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2. \end \right.$ методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Итак, ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $\rang\widetilde\neq\rang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (не имеет решений).

Этот же вывод можно получить, записав третью строку полученной матрицы в виде уравнения: $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие указывает на отсутствие решений.

Напомню, что появление строки вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end \right)$, где $x\neq<0>$ на любом этапе метода Гаусса означает, что система не имеет решений. Можно было даже не вычёркивать нулевую строку, но хотелось записать окончательный вариант матрицы в более компактной форме.

Ответ: система несовместна (не имеет решений).

Исследовать СЛАУ $ \left\ < \begin& 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132.\end \right.$ на совместность. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса.

Расширенная матрица системы имеет вид: $\widetilde=\left( \begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right)$. Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: $\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right)$.

Прямой ход метода Гаусса

Обнуляем элементы первого столбца (под первой строкой), используя первую строку:

Обнуляем элементы второго столбца (под второй строкой), используя вторую строку:

Здесь уже видны повторяющиеся строки (строки №3 и №4). Можем их убрать, как в предыдущем примере, однако данное действие не является обязательным. Если не убрать повторяющиеся строки сейчас, то получим нулевые строки в конце прямого хода метода Гаусса. Чтобы это продемонстрировать, я не стану убирать повторяющиеся строки и продолжу решение.

Обнуляем элементы третьего столбца (под третьей строкой), используя третью строку:

Мы привели расширенную матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трем, ранг матрицы системы также равен трем. Так как система содержит $5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3<5$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является совместной и неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений. Подробно о решении таких систем можно почитать в теме "Общее и базисное решения СЛАУ". Очень советую в упомянутой теме хотя бы бегло глянуть на картинки с "ступеньками", тогда вам будет ясен способ выбора базисных переменных, который станем использовать далее.

Убирая нулевые строки, получаем такую матрицу: $\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \end \right)$. Чтобы найти решения данной СЛАУ, можно перейти от матрицы $\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \end \right)$ к системе:

Затем можно выразить одни переменные через другие, получив общее решение данной СЛАУ. У нас есть три уравнения, содержащие пять неизвестных. В этом случае три переменные ($x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные) оставляются в левой части равенств, а две переменные ($x_4$, $x_5$ – свободные переменные) переносятся в правые части уравнений:

Мне кажется гораздо более удобным продолжить решение в матричной форме записи. Для матрицы $\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \end \right)$ перенос переменных $x_4$ и $x_5$ в левые части равенств будет означать перенос за черту четвертого и пятого столбцов (знаки переносимых элементов при этом меняются на противоположные):

Обратный ход метода Гаусса

Разделим обе части третьей строки на $(-11)$:

Обнуляем элементы третьего столбца (над третьей строкой), используя третью строку:

Разделим вторую строку на $4$:

Обнуляем элемент второго столбца (над второй строкой), используя вторую строку:

Итак, вспоминая, что пятый столбец соответствует переменной $x_4$, а шестой столбец – переменной $x_5$, несложно записать ответ:

Исследовать на совместность СЛАУ $ \left\ < \begin& x_1-5x_2-x_3-2x_4=0;\\ & 2x_1-6x_2+x_3-4x_4=0;\\ & -x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end \right.$. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3<4$. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной $x_4$, за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Вспоминая, что столбец за чертой соответствкет переменной $x_4$, записываем ответ.

Решить систему $\left\ < \begin& x_1+2x_2-x_3+3x_4+4x_5=-3;\\ & x_1+2x_2-4x_3+5x_4+7x_5=-5;\\ & x_1+2x_2+10x_3+12x_4-4x_5=28;\\ & x_1+2x_2+2x_5=-4;\\ & x_1+2x_2+2x_3-4x_4+5x_5=-23. \end \right.$ методом Гаусса.

Начнём решение системы и обнулим соответствующие элементы первого столбца, используя первую строку:

Теперь нужно обнулить элементы третьего столбца, расположенные под второй строкой. Перед тем, как это делать, желательно поменять местами вторую и четвёртую строки, ибо с единицей будет попроще работать. Дальнейшие шаги прямого хода метода Гаусса стандартны и особых пояснений не требуют:

Прямой ход метода Гаусса завершён. Второй столбец (он соответствует свободной переменной $x_2$) переносим за черту и приступаем к выполнению преобразований обратного хода метода Гаусса:



Интеграл Коши Интегральная формула Коши


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать