Скаляры и векторы

Вектор − чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.

Вектор − направленный отрезок прямой.

 В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин − скалярными и векторными.

Скалярными величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l, масса − m, путь − s, время − t, температура − T, электрический заряд − q, энергия − W, координаты и т.д.

 К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.).

 Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q1 = 2 нКл, q2 = −7 нКл, q3 = 3 нКл.

Полный заряд системы

 Для квадратного уравнения вида

Векторными величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v, сила F, импульс p, напряженность электрического поля E, магнитная индукция B и др.

 Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками r = |r|.

 Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1),

длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора.

Два вектора равны, если совпадают их модули и направления.

 Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).

 Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.

 Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор

равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b. Модуль его

 Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора a отложить вектор b. Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a и конец вектора b) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a и b).

 Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3).

 Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F1 и F2, как сторонах, и по модулю равен ее длине.

 Модуль вектора F находим по теореме косинусов

 Угол, который вектор F составляет с осью Ox, находим по формуле

 Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора a и оси Ox (Oy). (рис. 5)

 Проекции вектора a на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)

 Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)

 Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный

 Пусть надо из вектора a вычесть вектор b, их разность − d. Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a прибавить вектор (−b), то есть вектором d = a − b будет вектор, направленный от начала вектора a к концу вектора (−b) (рис. 9).

 В параллелограмме, построенном на векторах a и b как сторонах, одна диагональ c имеет смысл суммы, а другая d − разности векторов a и b (рис. 9).

 Произведение вектора a на скаляр k равно вектору b = ka, модуль которого в k раз больше модуля вектора a, а направление совпадает с направлением a при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.

 Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10)

Импульс тела p = mv; p = 2 кг•м/с = 10 кг•м/с и направлен в сторону скорости v.

 Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

 Сила равна F = qE. Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E. (рис. 11)

Деление вектора a на скаляр k равнозначно умножению a на 1/k.

Скалярным произведением векторов a и b называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

 Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°.

 Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения

Векторным произведением векторов a и b называют вектор c, численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:

 Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b, причем его направление связано с направлением векторов a и b правилом правого винта (рис. 13).

 Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.

Рассмотрите решение задач.

 1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√<2>; д) a√<3>?

 а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю.

 б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a.

 в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,

 г) Два вектора направлены под углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен

a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,

 д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен

a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,

Ответ: Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.

 а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу a1||a2.

 б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма

 3. Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?

 По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил:

для второй пары сил, соответственно

Приравняв левые части уравнений

Найдем искомый угол β между векторами

Второй способ решения.

 Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.).

 Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим

 4. Вектор a = 3i − 4j. Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |ca| = 7,5?

Модуль вектора a будет равен

a 2 = 3 2 + 4 2 , и a = ±5,

 Изобразим векторы в декартовой системе координат (рис.)

 а) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен

Результирующий вектор вдоль оси Oy равен

Чтобы сумма векторов была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось условие

Вектор a3 по модулю будет равен суммарному вектору a1 + a2, но направлен в противоположную ему сторону. Координата конца вектора a3 равна <−7, −4>, а модуль

 б) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен

а результирующий вектор вдоль оси Oy

При выполнении условия

вектор a3 будет иметь координаты конца вектора ax = –5 и ay = −4, а модуль его равен

 6. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?

 Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.).

Конец вектора OA имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен

L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.

Модуль вектора перемещения найдем по формуле

 7. Угол α между двумя векторами a и b равен 60°. Определите длину вектора с = a + b и угол β между векторами a и c. Величины векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.

 Длину вектора, равного сумме векторов a и b определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).

Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

При этом следует знать, что

 Решая простое тригонометрическое уравнение, приходим к выражению

 Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:

 8. Для векторов a и b, определенных в примере 7, найдите длину вектора d = a − b угол γ между a и d.

 9. Найдите проекцию вектора a = 4,0i + 7,0j на прямую, направление которой составляет угол α = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.

 10. Вектор a составляет угол α = 30° с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор b (b = √<3>), чтобы вектор с = a + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора c.

 12. Угол между векторами a и b равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b − a/2.

 15. Вектор a составляет с осью Ox угол α = 30°, проекция этого вектора на ось Oy равна ay = 2,0. Вектор b перпендикулярен вектору a и b = 3,0 (см. рис.).

Вектор с = a + b. Найдите: a) проекции вектора b на оси Ox и Oy; б) величину c и угол β между вектором c и осью Ox; в) (a, b); г) (a, c).

 11. а) 5i + j; б) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.

 Изучая физику, Вы имеете большие возможности продолжить свое образование в техническом ВУЗе. Для этого потребуется параллельное углубление знаний по математике, химии, языку, реже другие предметы. Победитель республиканской олимпиады, Савич Егор, заканчивает один из факультетов МФТИ, на котором, большие требования предъявляются к знаниям по химии. Если требуется помощь в ГИА по химии, то обращайтесь к профессионалам, Вам точно окажут квалифицированную и своевременную помощь.

© FizPortal.ru, 2009. Работает на CMS Drupal.

При использовании материала с FizPortala ссылка на сайт обязательна



Дифференциал дуги


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать