Некоторые свойства определителей.

Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \ldots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \ldots & a_ <2n>\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \end \right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум, и я коснусь данного вопроса детальнее.

Обозначается определитель матрицы $A$ как $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

  1. Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. $\Delta A=\Delta A^T$.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin 2 & 5 \\ 9 & 4 \end \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Заменим в нём строки столбцами по принципу: "была первая строка – стал первый столбец", "была вторая строка – стал второй столбец":

Вычислим полученный определитель: $\left| \begin 2 & 9 \\ 5 & 4 \end \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin 2 & 5 \\ 9 & 4 \end \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin 9 & 4 \\ 2 & 5 \end \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin 9 & 4 \\ 2 & 5 \end \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Так как в определителе $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end \right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end \right|=0$.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Так как в определителе $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end \right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end \right|=0$.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Так как в определителе $\left| \begin -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end \right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $III=-3\cdot II$, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end \right|=0$.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin -7 & 10 \\ -9 & 21 \end \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это так:

Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$. $A_s$. Выражение

$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

где $k_i\in R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$. $A_s$.

Для примера рассмотрим такой определитель:

В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:

$$ IV=2\cdot I+3\cdot II-III $$

Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.

Пример применения этого свойства: показать\скрыть

Рассмотрим определитель $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end \right|$. Запишем элементы второго столбца так: $\left| \begin -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end \right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:

Формулы для вычисления определителей

Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:

Определитель матрицы $A_$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:

Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины"). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:



Таблица дифференциалов