Свойства преобразования Лапласа

19.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Преобразование Лапласа, связывающее функцию времени f(t) — оригинал и ее операторное изображение F(s) —

является весьма развитым инструментом математического анализа и ему посвящена обширная литература. Многие его свойства идентичны свойствам преобразования Фурье, рассмотренным в п. 11.3. Остановимся на тех из них, которые будут использоваться при расчете переходных процессов операторным методом.

Линейность преобразования Лапласа. Так как формула прямого преобразования линейна относительно подынтегрального сомножителя f(t), то преобразование линейно — изображение суммы оригиналов равно сумме изображений слагаемых .

Изображение простейших функций времени. Так как преобразование является односторонним, то все рассматриваемые функции определены своими выражениями лишь при t > 0, а при t < 0 их значения равны нулю. Поэтому при нахождении изображения экспоненты f(t) = e – a t необходимо учитывать, что речь идет о функции, изображенной на рис. 19.2, а.

a) б)

Непосредственное применение интеграла прямого преобразования дает

.

(На верхнем пределе экспонента исчезает, так как Re(s) = s > 0). Это — единственная из множества формул преобразования Лапласа функций, которую полезно запомнить.

Полученный результат приводит к изображению единичной функции f(t) = 1(t) (рис. 19.2, б). Найдем его, принимая в формулах для экспоненты a = 0. Таким образом, 1(t) имеет изображение 1/s. По основной формуле преобразования изображение d –функции . Действительно, подынтегральная функция отлична от нуля лишь при t = 0, когда экспонента равна единице, а по определению. Отсюда следует, в частности, что нижний предел в интеграле Лапласа следует принимать равным (– 0), что существенно лишь для функций, неограниченных в начальный момент времени — содержащих слагаемое d (t). Обозначим соответствие оригинала и изображения в символической форме f(t) ® F(s).

; ; .

Наиболее часто встречающиеся изображения других функций приведены в Приложении 4. Значительное число изображений других функций можно найти в Л.16. Расширить перечень указанных функций можно с помощью теоремы смещения, согласно которой изображение функции f(t), умноженной на экспоненту e – a t , равно F(s + a ):

Изображение производной функции. Изображение F'(s) производной функции f'(t) = df/dt выражается через изображение дифференцируемой функции с помощью основного интеграла . Применяя интегрирование по частям, перепишем его в виде

.

Поскольку последний интеграл представляет собой изображение исходной функции, то после преобразования и подстановки пределов интегрирования приведем полученное соотношение к виду

Предельные соотношения. Используя в формуле (19.4) значение f(+ 0), перейдем в ней к пределу при s ® ¥ . Учитывая, что производная df/dt при t > 0 ограничена и, следовательно, , получим

.

Рассуждая аналогично, получим также и соотношение

,

дающее возможность определить предельное значение оригинала при t ® ¥ по его изображению, однако, лишь в том случае, если этот оригинал имеет предел при t ® ¥ (например, его нельзя применять к синусоиде).

т. е. изображение запаздывающей функции равно изображению исходной функции, умноженной на es t .

В справочной литературе [Л.16] можно найти описание других свойств преобразования Лапласа.

Отметим, что применяя это преобразование к функциям времени, имеющим размерность, необходимо помнить, что размерности оригинала f(t) и его изображения F(s) не совпадают, — в формуле прямого преобразования интеграл вычисляется по времени, поэтому размерность изображения есть размерность оригинала, умноженная на время. Комплексная переменная s = s + j w , которую иногда называют комплексной частотой, хотя такое название и лишено физического смысла, имеет размерность частоты (1/с).



Найти плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию