Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши

Последовательность < xn > удовлетворяет условию Коши, если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε , что

Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n . Если m < n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:

Здесь p – натуральное число.

Тогда условие Коши можно сформулировать так:

Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что

(2) при и любых натуральных p .

Число , фигурирующее в условии Коши, зависит от ε . То есть оно является функцией от действительной переменной ε , областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде , как это принято для обозначения функций.

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия Коши сходимости последовательности

Доказательство необходимости

Пусть последовательность сходится к конечному пределу a :

Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого выполняются неравенства:

Покажем, что последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑. Для этого нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого , выполняются неравенства:

Последнее неравенство выполняется при .

Заменим на . Тогда для любого имеем:

Доказательство достаточности

Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑. Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим теорему Больцано – Вейерштрасса, согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность.

Докажем, что последовательность , удовлетворяющая условию Коши (1) ⇑, ограничена. Для этого, в условии Коши, положим . Тогда существует такое натуральное число , при котором выполняются неравенства:

Возьмем любое натуральное число и зафиксируем член последовательности . Обозначим его как , чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n число.

Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При имеем:

Отсюда видно, что при , члены последовательности ограничены. Поскольку, при , имеется только конечное число членов, то и вся последовательность ограничена.

Применим теорему Больцано – Вейерштрасса. Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a . Обозначим такую подпоследовательность как . Тогда

Покажем, что к числу a сходится вся последовательность.

Поскольку последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑, то имеется некоторая функция , при которой для любого выполняются неравенства:

В качестве возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε 1 на ε /2 :

Зафиксируем n . Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность , у которой исключено конечное число первых членов с . Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при усеченной последовательности по прежнему равен a . Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметические свойства пределов , при , из (2.3.1) имеем:

Воспользуемся очевидным неравенством: . Тогда

То есть для любого существует натуральное число , так что

Это означает, что число a является пределом всей последовательности (а не только ее подпоследовательности .

О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-01-2018



Частные производные неявно заданной функции
Вычет функции