Геометрический смысл дифференциала функции

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

Связь дифференциала и производной функции.

Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f" (x0), и справедливо равенство dy = f" (x0) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x0 как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х0) = f" (x0); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f" (x0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f" (x0) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме ( 3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,

так как u'dx = du. То есть dy = f'(u)du. (5)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле ( 4) dx = D x, а в формуле ( 5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.

К сожалению, не существует формулы, выражающей интеграл от произведения функций через интегралы от сомножителей. С этим связано то обстоятельство, что, в отличие от производных, интеграл от элементарной функции не всегда является элементарной функцией. Например, и - табличные, тогда как не выражается через основные элементарные функции.

Для того, чтобы найти интеграл от произведения некоторого класса функций, таких, как , , , , , и другие, рассмотрим прием интегрирования, обратный приему дифференцирования произведения двух функций.

Пусть и - две функции, имеющие непрерывные производные и . Найдем дифференциал произведения функций и :

.

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим: , т. к. , а , то получаем , откуда .

Поскольку уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства, можно опустить и записать равенство в виде:

(1)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Этой формулой обычно пользуются в том случае, когда подынтегральное выражение проще, чем подынтегральное выражение .

Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно различными способами записать в виде . Например, и так далее. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выражение разбить на части и так, чтобы вид был не сложнее, чем вид , а вид проще, чем вид . В частности, полезно иметь в виду, что для таких функций, как , производные имеют вид более простой, чем сами функции. Поэтому в большинстве случаев эти функции удобно принимать за .

Итак, формула для вычисления неопределенного интеграла «по частям» (*)

Примеры. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.

1) Вычислить .

2) Вычислить .

3) Вычислить

Любопытный пример представляют интегралы, в которых после применения формулы (1) и преобразований в правой части получается исходный интеграл, но с другим коэффициентом. Тогда, приводя подобные члены, можно прийти к алгебраическому уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определяется. К таким интегралам относятся, например, такие: , , .

1) Вычислим .

Обозначим , тогда получим уравнение

.

Решая его, получаем и , таким образом,

.

2) Вычислим .

еще раз применим формулу (1)

; и . .



Таблица основных интегралов
Пределы по Коши


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать