Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Это означает, что функция ѓ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через б(х):

Решение: Функцию 5+х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х-2 (при х>2), т. е. выполнено равенство 5+х=7+(х-2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х>x0 и х>?, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы limѓ(х), limц(х) существуют при Х>Хо

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Следствие 3. Функция может иметь только один предел при х>хо.

По теореме 17.7 имеем:

Отсюда А-В=0, т. е. А=В.

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как

где б(х) и Я(х) -- б.м.ф. Следовательно,

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 4 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х>2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х-2?0 (х>2, но х№ 2):

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х 2 :

Функция 2+3/х+1/х 2 есть сума числа 2 и б.м.ф. ,поетому



Теорема Стокса