Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Между понятиями непрерывности и дифференцируемости (существованием конечной производной) существует простая связь.

Одно из определений непрерывности гласит, что функция называется непрерывной в точке, если в этой точке .

Определение 1. Функция f(x) называетсядифференцируемой в точкех, если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде

Теорема 1 (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости). Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы f(x) имела в этой точке конечную производную.

Доказательство необходимости. Пусть f(x)дифференцируема в точке х. Докажем, что в этой точке существует производная f'(x).

Из дифференцируемости f(x)в точке х следует, что приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде

Отсюда A + α(Δx) или α(Δx).

По определению б.м.ф.:

.

Значит, и Но тогда Следовательно, f'(x) = А. Существование производной доказано.

Доказательство достаточности. Пусть f(x)в точке х имеет конечную производную f'(x). Докажем, что f(x)в этой точке дифференцируема.

Существование производной f'(x) означает, что при Δx → 0 существует предел отношения , т.е.

Отсюда f'(x) + α(Δx), где α(Δx) 0 при Δx → 0.

Теорема 1 устанавливает, что для функции f(x) дифференцируемость в данной точке х и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные.

Теорема 2 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке).Если функция дифференцируема (т.е. имеет конечный предел) в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство: Пусть функция дифференцируема. Тогда существует конечный предел . Отсюда

.

Следовательно, функция у = f(x) непрерывна в точке х. Теорема доказана.

Замечание 1. Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция может не иметь производной.

Пример 1. непрерывная функция, но не дифференцируема в точке х = 0, так как в ней график функции имеет излом, где не существует касательной.

Более строго: в точке х = 0 имеем

Отсюда следует, что не существует, т.е. y = |x| не имеет производной в точке х = 0.

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.

Замечание 2. Требование существования конечной производной является важным.

Например, существуют односторонние пределы функции y = |x| в точке х=0: , . В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или производные слева и справа): и .

Если , то производная в точке не существует.

Не существует производной и в точках разрыва функции. Например, если функция имеет точку разрыва 2-го рода, то в этой точке производная функции может быть бесконечной.

Замечание 3. Производная непрерывной функции сама не обязательно непрерывна.

Определение 2.Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция называется непрерывно дифференцируемой на (или гладкой) этом промежутке.

Таблица производных и правила дифференцирования

21.

Докажем 16-е утверждение в случае суммы:

Правило 16 справедливо и для случая суммы любого конечного числа функций.

Докажем 19-е правило:

Дифференцирование обратной функции (п. 21). Если у = f(x) и х = g(y) – взаимно-обратные дифференцируемые функции, и y'x ≠ 0, то

,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 1. Если , то, обозначив u=cos х, получим . Тогда .



Приближенное вычисление определенных интегралов


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать