Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.

Таблица изображений некоторых элементарных оригиналов.

Приведем примеры использования определения и результатов утверждений для нахождения изображений.

Найти изображение функции , используя преобразование Лапласа.

Подчеркнем, что является оригиналом. Так как для всех , то изображение этой функции будет определено и аналитично в полуплоскости . Далее находим:

.

Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа найти изображения оригинала:

По таблице изображений найдем: .

.

Найти изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования изображений.

Воспользовавшись таблицей изображений, запишем:

.

Тогда по теореме о дифференцировании получим:

.

Последовательно вычисляя производные, находим:

и далее .

Окончательно запишем: .

Найти изображение функции .

Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако в данном случае проще воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем: . Тогда по теореме об интегрировании оригинала имеем право, записать:

.

Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.

Сверткой функций будем называть функцию .

Отметим, что операция свертывания обладает свойством коммутативности: , то есть .

Утверждение 10 (об умножении изображений, или теорема о свертке). Пусть ; . Тогда .

Таким образом, изображением свертки двух оригиналов является произведение их изображений.

Найти свертку функций и :

Приведем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Воспользуемся таблицей изображений: и .

Воспользовавшись теоремой о свертке, запишем: .

Итак, изображение свертки найдено. Найдем саму свертку. Для этого, как и в предыдущей задаче, с помощью метода неопределенных коэффициентов представим дробь в виде суммы простейших дробей: . Тогда по таблице изображений запишем: .

Второй способ. Вычислим свертку функций, воспользовавшись определением: .

Интегрируем по частям: . Следовательно, .

Теперь по таблице изображений находим изображение свертки: .

Итак, нами получен тот же результат.

Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения: .

Представим изображение в виде произведения . По теореме о свертке имеем: . Найдем теперь свертку функций и :

.

Таким образом, .

Заметим, что в данном случае оригинал можно было найти и по таблице изображений.

При нахождении оригиналов по заданным изображениям можно использовать несколько приемов.

Первый состоит в том, что изображение представляется в виде суммы элементарных дробей, каждая из которых является изображением простых оригиналов. Далее, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразования Лапласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.

Второй способ состоит в том, чтобы представить дробь в виде произведения дробей, каждая из которых является изображением некоторой функции, и применить теорему о свертке.

Третий способ основан на следующем утверждении:

Утверждение 11 (о разложении). Пусть функция представляет собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках , где . Тогда оригиналом для неё служит функция , где сумма берется по всем полюсам.

Отметим, что данное утверждение допускает некоторое упрощение в случае, когда

а) все корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения имеют кратность единица: ,

б) корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения кратные:

, .

Приведем примеры использования вышеперечисленных идей при решении задач.

Найти оригинал изображения: .

При работе с первым слагаемым по таблице изображений находим: . Поэтому, по свойству линейности преобразования Лапласа, находим соответствующий оригинал: .

Аналогично преобразуем второе слагаемое в выражении: .

Для нахождения оригинала, соответствующего третьему слагаемому выделим полный квадрат в знаменателе: . С учетом этого запишем: . Окончательно для этого слагаемого получим: .

Для нахождения оригинала, соответствующего последнему слагаемому , воспользуемся утверждением запаздывания оригинала. Так как оригинал для функции : , то, применив теперь теорему запаздывания оригинала, имеем

Итак, оригинал, соответствующий нашему изображению имеет вид:

.

Найти оригинал изображения: .

Представим дробь в виде суммы простейших дробей .

Воспользуемся стандартной техникой нахождения неопределенных коэффициентов . Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Тогда дроби равны, знаменатели равны, а значит, и числители равны: .

Слева и справа у нас многочлены. По теореме о равенстве двух многочленов два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Тогда запишем соответствующую систему и вычислим коэффициенты разложения:

.

Таким образом, исходную дробь представим в виде .

Следовательно, .

Проиллюстрируем теперь использование теоремы о разложении для нахождения оригиналов, соответствующих изображениям.

Пользуясь теоремой о разложении, найти оригинал изображения: .

Функция имеет полюсы второго порядка: , и полюс первого порядка . Тогда по тереме о разложении оригиналом для служит функция . Вычислим соответствующие вычеты .

,

,

.

Следовательно, имеем право, записать

.

Найти оригинал изображения: .

Заметим, что все корни знаменателя действительные и простые.

При этом , а и .

Итак, корни многочлена знаменателя: .

Найдем соответствующие коэффициенты: , , , .

Следовательно, .

Приведем также пример ситуации с кратными корнями.

Найти оригинал изображения: .

Разложение изображения на простые дроби имеет вид: .

Найдем коэффициенты этого разложения

;

;

;

;

Методы операционного исчисления удобно использовать при решении некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также систем таких уравнений. При этом предполагают, что в правой части такого уравнения стоит оригинал некоторой функции. Приведем примеры использования утверждений, касающихся свойств оригиналов и изображений.

Найти частное решение дифференциального уравнения

.

Пусть функция , удовлетворяющая данному уравнению имеет изображение: . Тогда воспользовавшись утверждением о дифференцируемости оригинала запишем:

, а .

Правая часть уравнения преобразуется следующим образом:

.

Приходим к операторному уравнению: .

Выразим из полученного уравнения изображение частного решения дифференциального уравнения:

.

Найдем разложение получившейся дроби на сумму дробей, представляющих собой оригиналы элементарных функций.

.

Следовательно, решение исходной задачи Коши.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть . И пусть . Тогда

и , кроме того . И соответствующее операторное уравнение имеет вид: .

Выразим отсюда :

.

И значит решением исходного уравнения будет функция

. (здесь ).

Решить интегральное уравнение .

Выпишем уравнение для изображений, воспользовавшись утверждением 8 об интегрировании оригинала. (Полагая, что ).

. Выразим функцию изображения . Найдем оригинал, соответствующий данному изображению .

Решить интегральное уравнение .

Отметим, что левая часть уравнения представляет собой свертку функций и . Переходя к соответствующим изображениям запишем

. Выражая из последнего уравнения убедимся . И, значит, этому изображению соответствует оригинал .

Решить систему уравнений

Пусть и .Выпишем соответствующую операторную систему линейных уравнений

.

Выразим из получившейся операторной системы и :

, .

Отметим, что для нахождения соответствующих оригиналов удобно воспользоваться теоремой разложения, учтя при этом, что корни знаменателя имеют первую кратность.

Таким образом , и .

Найти изображение функции Хевисайда: (см. рис.)

Ранее было получено, что изображением для оригинала является функция ,тогда, воспользовавшись теоремой запаздывания, получим: .

Найти изображение функции, заданной следующим графиком:

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа, учитывая области определения кусочно-заданного оригинала:

.

Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рисунке.

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

. Это легко проверяется графическим сложением функций , , и т.д., изображенных на одном и том же чертеже. По теореме запаздывания получаем: . Второй сомножитель из правой части равенства представляет собой геометрическую прогрессию, со знаменателем . Так как, , то геометрическая прогрессия сходится, и получаем: .



Основные задачи на прямую и плоскость