Пересечение прямой с плоскостью.

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.

Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:

1) проведению вспомогательной плоскости ( Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи ) через данную прямую;

2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;

3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Пересечение прямой с проектирующей плоскостью.

Пример 1. На (фиг.250,а) даны плоскость δ ( δ1 ) и прямая АВ ( А1В1 и А2В2 ); требуется определить точку их пересечения.

В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ - горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ , сливается с горизонтальной проекцией δ1 .

Поэтому точка К1 пересечения горизонтальной проекции А1В1 прямой АВ с горизонтальной проекцией δ1 есть горизонтальная проекция точки пересечения К ; фронтальная проекция К2 определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А2В2 .

Пример 2 . На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ с фронтально - проектирующей плоскостью δ .

Пересечение прямой с плоскостью общего положения.

Пример 1. Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ ( А1В1 А2В2 ); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).

Проводим через прямую АВ какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую плоскость δ ( δ1 ), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a по прямой NM ( N1M1 , N2М2 ), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ ( А1В1 А2В2 ) в точке С ( С1С2 ), что видно на (фиг.251,в). Точка С есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью а .

Пример 2. На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h .

Пример 3. Даны: треугольник ABC и прямая NM ; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).

Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ , тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N1M1 прямой NM и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е1 и F1 (фиг.253,б). Отрезок Е1F1 будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е2 и F2 , проводим через них прямую E2F2 , которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.

Прямая E2F2 пересекает прямую N2М2 в точке К2 . Точка К2 будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN с прямой EF ; горизонтальную проекцию K1 этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.

Точка К ( K1, К2 ) будет точкой пересечения данной прямой MN с данным треугольником ABC , как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN пересекается в ней с прямой EF , лежащей в плоскости треугольника ABC .

Построить комплексный чертеж треугольника ABC по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение

По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.

В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (фиг.254)



Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции