Задания по теме «Угол между плоскостями»

Открытый банк заданий по теме угол между плоскостями. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1188

Тема: Угол между плоскостями

Дана правильная призма ABCDA_1B_1C_1D_1, M и N — середины ребер AB и BC соответственно, точка K — середина MN .

а) Докажите, что прямые KD_1 и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями MND_1 и ABC , если AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

а) В \triangle DCN и \triangle MAD имеем: \angle C=\angle A=90^<\circ>, CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Отсюда \triangle DCN=\triangle MAD по двум катетам. Тогда MD=DN, \triangle DMN равнобедренный. Значит, медиана DK — является также высотой. Следовательно, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND по условию, D_1K — наклонная, KD — проекция, DK \perp MN.

Отсюда по теореме о трех перпендикулярах MN\perp D_1K.

б) Как было доказано в а), DK \perp MN и MN \perp D_1K, но MN — линия пересечения плоскостей MND_1 и ABC , значит \angle DKD_1 — линейный угол двугранного угла между плоскостями MND_1 и ABC .

В \triangle DAM по теореме Пифагора DM= \sqrt = \sqrt <64+16>= 4\sqrt 5, MN= \sqrt = \sqrt <16+16>= 4\sqrt 2. Следовательно, в \triangle DKM по теореме Пифагора DK= \sqrt = \sqrt <80-8>= 6\sqrt 2. Тогда в \triangle DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac=\frac<6\sqrt 2><6\sqrt 2>=1.

Значит, \angle DKD_1=45^<\circ>.

Задание №1187

Тема: Угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 стороны основания равны 4 , боковые рёбра равны 6 . Точка M — середина ребра CC_1, на ребре BB_1 отмечена точка N , такая, что BN:NB_1=1:2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD_1?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN .

а) Плоскость AMN пересекает ребро DD_1 в точке K , являющейся четвёртой вершиной сечения данной призмы этой плоскостью. Сечением является параллелограмм ANMK , потому что противоположные грани данной призмы параллельны.

BN =\frac13BB_1=2. Проведём KL \parallel CD, тогда треугольники ABN и KLM равны, значит ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Тогда KD_1=6-1=5. Теперь можно найти отношение KD:KD_1=1:5.

б) F — точка пересечения прямых CD и KM . Плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AF . Угол \angle KHD =\alpha — линейный угол двугранного угла ( HD\perp AF, тогда по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, KH \perp AF ) , и является острым углом прямоугольного треугольника KHD , катет KD=1.

Треугольники FKD и FMC подобны (KD \parallel MC), поэтому FD:FC=KD:MC, решая пропорцию FD:(FD+4)=1:3, получим FD=2. В прямоугольном треугольнике AFD (\angle D=90^<\circ>) с катетами 2 и 4 вычислим гипотенузу AF=\sqrt <4^2+2^2>=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac<4\cdot 2><2\sqrt 5>= \frac4<\sqrt 5>.

В прямоугольном треугольнике KHD найдём tg \alpha =\frac=\frac<\sqrt 5>4, значит, искомый угол \alpha =arctg\frac<\sqrt 5>4.

Задание №1183

Тема: Угол между плоскостями

Дана правильная четырёхугольная пирамида KMNPQ со стороной основания MNPQ , равной 6 , и боковым ребром 3\sqrt <26>.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую NF параллельно диагонали MP , если точка F — середина ребра MK .

б) Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью KMP .

а) Пусть KO — высота пирамиды, F — середина MK ; FE \parallel MP ( в плоскости PKM ) . Так как FE — средняя линия \triangle PKM, то FE=\frac2.

Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через NF и параллельной MP , то есть плоскостью NFE . L — точка пересечения EF и KO . Так как точки L и N принадлежат искомому сечению и лежат в плоскости KQN , то точка T , полученная как пересечение LN и KQ , является также точкой пересечения искомого сечения и ребра KQ . NETF — искомое сечение.

б) Плоскости NFE и MPK пересекаются по прямой FE . Значит, угол между этими плоскостями равен линейному углу двугранного угла OFEN , построим его: LO \perp MP, MP \parallel FE, следовательно, LO \perp FE; \triangle NFE — равнобедренный ( NE=NF как соответствующие медианы равных треугольников KPN и KMN ) , NL — его медиана ( EL=LF, так как PO=OM, а \triangle KEF \sim \triangle KPM ) . Отсюда NL \perp FE и \angle NLO — искомый.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON — прямоугольный.

Катет KO по теореме Пифагора равен KO=\sqrt .

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt= \frac12\sqrt <9\cdot 26-9\cdot 2>= \frac12\sqrt<9(26-2)>= \frac32\sqrt <24>= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

Задание №986

Тема: Угол между плоскостями

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_<1>B_<1>C_ <1>равны 6 . Через середины рёбер AC и BB_ <1>и вершину A_ <1>проведена секущая плоскость.

а) Докажите, что ребро BC делится секущей плоскостью в отношении 2:1, считая от вершины C .

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

а) Пусть D и E — середины ребер AC и BB_ <1>соответственно.

В плоскости AA_<1>C_ <1>проведем прямую A_<1>D, которая пересекает прямую CC_ <1>в точке K , в плоскости BB_<1>C_ <1>— прямую KE , которая пересекает ребро BC в точке F . Соединие точки A_ <1>и E , лежащие в плоскости AA_<1>B_<1>, а также D и F , лежащие в плоскости ABC , получим сечение A_<1>EFD.

\bigtriangleup AA_<1>D=\bigtriangleup CDK по катету AD=DC и острому углу.

\angle ADA_<1>=\angle CDK — как вертиальные, отсюда следует, что AA_<1>=CK=6. \bigtriangleup CKF и \bigtriangleup BFE подобны по двум углам \angle FBE=\angle KCF=90^\circ, \angle BFE=\angle CFK — как вертикальные.

\frac=\frac<6><3>=2, то есть коэффициент подобия равен 2 , откуда следует, что CF:FB=2:1.

б) Проведём AH \perp DF. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу AHA_<1>. Действительно, отрезок AH \perp DF ( DF — линия пересечения этих плоскостей ) и является проекцией отрезка A_<1>H на плоскость основания, следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах, A_<1>H \perp DF. \angle AHA_<1>=arctg\frac>. AA_<1>=6.

Найдём AH . \angle ADH =\angle FDC (как вертикальные).

По теореме косинусов в \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac<1><2>=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF \cdot DC \cdot \cos \angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt <13>\cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

По следствию из основного тригонометрического тождества

Задание №983

Тема: Угол между плоскостями

Основанием прямой призмы ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_ <1>является ромб с тупым углом B , равным 120^\circ. Все ребра этой призмы равны 10 . Точки P и K — середины ребер CC_ <1>и CD соответственно.

а) Докажите, что прямые PK и PB_ <1>перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями PKB_ <1>и C_<1>B_<1>B.

а) Будем использовать метод координат. Найдём скалярное произведение векторов \vec и \vec>, а затем косинус угла между этими векторами. Направим ось Oy вдоль CD , ось Oz вдоль CC_<1>, и ось Ox \perp CD . C — начало координат.

Тогда C (0;0;0); C_<1>(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), то есть B(5\sqrt<3>; 5;0), B_<1>(5\sqrt<3>; 5;10).

Пусть угол между \vec и \vec> равен \alpha.

\cos \alpha =0, значит, \vec \perp \vec> и прямые PK и PB_ <1>перпендикулярны.

б) Угол между плоскостями равен углу между ненулевыми векторами, перпендикулярными этим плоскостям (или, если угол тупой, смежному с ним углу). Такие векторы называют нормалями к плоскостям. Найдём их.

Пусть \vec>=\ перпендикулярен плоскости PKB_<1>. Найдем его, решив систему \begin \vec> \perp \vec, \\ \vec> \perp \vec>. \end

\begin 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt<3>x+5y+5z=0; \end

Пусть \vec>=\ перпендикулярен плоскости C_<1>B_<1>B. Найдем его, решив систему \begin \vec> \perp \vec>, \\ \vec> \perp \vec. \end

\begin 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt<3>x+5y+0z=0; \end

Найдем косинус искомого угла \beta (он равен модулю косинуса угла между \vec> и \vec> ).

Задание №981

Тема: Угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_ <1>на ребре AA_ <1>взята точка M так, что AM:MA_<1>=2:3.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D и M параллельно диагонали основания AC .

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если AA_<1>=5\sqrt<6>, AB=4.

а) По условию ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_ <1>— правильная призма, это означает, что основание ABCD — квадрат и боковые грани — равные прямоугольники.

Так как плоскость сечения проходит через точки M и D параллельно диагонали AC , то для её построения в плоскости A_<1>AC через точку M проведём отрезок MN параллельный AC . Получим AC \parallel (MDN) по признаку параллельности прямой и плоскости.

Плоскость MDN пересекает параллельные плоскости A_<1>AD и B_<1>BC, тогда, по свойству параллельных плоскостей, линии пересечения граней A_<1>ADD_ <1>и B_<1>BCC_ <1>плоскостью MDN параллельны.

Проведём отрезок NE параллельно отрезку MD .

Четырехугольник DMEN — искомое сечение.

б) Найдём угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть плоскость сечения пересекает плоскость основания по некоторой прямой p , проходящей через точку D . AC \parallel MN, следовательно, AC \parallel p (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой). BD \perp AC как диагонали квадрата, значит, BD \perp p. BD — проекция ED на плоскость ABC , тогда по теореме о трех перпендикулярах ED \perp p, следовательно, \angle EDB — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Установим вид четырехугольника DMEN . MD \parallel EN, аналогично ME \parallel DN, значит, DMEN — параллелограмм, а так как MD=DN (прямоугольные треугольники MAD и NCD равны по двум катетам: AD=DC как стороны квадрата, AM=CN как расстояния между параллельными прямыми AC и MN ), следовательно, DMEN — ромб. Отсюда, F — середина MN .

По условию AM:MA_<1>=2:3, тогда AM=\frac<2><5>AA_<1>=\frac<2> <5>\cdot 5\sqrt<6>=2\sqrt<6>.

AMNC — прямоугольник, F — середина MN , O — середина AC . Значит, FO\parallel MA, FO \perp AC, FO=MA=2\sqrt<6>.

Зная, что диагональ квадрата равна a\sqrt<2>, где a — сторона квадрата, получим BD=4\sqrt<2>. OD=\frac<1><2>BD=\frac<1> <2>\cdot 4\sqrt<2>=2\sqrt<2>.

В прямоугольном треугольнике FOD\enspace tg \angle FDO=\frac=\frac<2\sqrt<6>><2\sqrt<2>>=\sqrt<3>. Следовательно, \angle FDO=60^\circ.

Задание №234

Тема: Угол между плоскостями

ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 — правильная шестиугольная призма с ребрами длиной 1 .

а) Докажите, что угол между прямыми ED_1 и BE_1 прямой.

б) Найдите угол между плоскостями BB_1E и ABD_1 .

а) Рассмотрим рисунок.

Заметим, что параллелепипед ABB_<1>A_<1>EDD_<1>E_ <1>является правильной призмой ( ABB_<1>A_ <1>— квадрат). BD \perp EDD_ <1>, тогда BD \perp ED_ <1>, ED_ <1>\perp ED как диагонали квадрата, значит, ED_ <1>\perp A_<1>BD , следовательно, ED_ <1>\perp BE_ <1>, и угол между ними прямой.

б) Рассмотрим двугранный угол EE_<1>BD_ <1>и его линейный угол EOD_ <1>. С помощью теоремы косинусов можно найти высоту AE=\sqrt <3>параллелепипеда. Диагональ боковой грани BE=\sqrt+AE^<2>>=2 и диагональ BE_<1>=\sqrt+EE_<1>^<2>>=\sqrt <5>параллелепипеда.

В прямоугольном треугольнике с известными катетами BE=2, EE_<1>=1 и гипотенузой BE_<1>=\sqrt <5>найдем высоту EO=\frac>>=\frac<2><\sqrt<5>> .

Из равенства треугольников BEE_ <1>и E_<1>BD_ <1>следует, что треугольник EOD_ <1>является равнобедренным OE=OD_<1>=\frac<2><\sqrt<5>> с основанием ED_<1>=\sqrt+DD_<1>^<2>>=\sqrt <2>.

Применяя теорему косинусов ED_<1>^<2>= EO^<2>+OD^<2>-2EOD_ <1>\cos \angle EOD_ <1>, найдем \cos EOD_<1>=-\frac<1> <4>, значит, угол между плоскостями ABD_ <1>и BB_<1>E равен arccos\frac<1> <4>.

Задание №199

Тема: Угол между плоскостями

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 , ребро которого равно 4 , точка M является серединой отрезка BC_1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую AM , параллельно прямой A_1B.

б) Найдите расстояние между прямыми A_1B и AM .

а) В плоскости грани AA_1B_1B через точку A проведем прямую, параллельную A_1B. Q и K — точки пересечения этой прямой соответственно с прямыми A_1B_1 и BB_1.

Прямая KM пересекает ребро BC в точке N , а ребро B_1C_1 — в точке S . Отрезок SQ пересекает ребро A_1D_1 в точке T .

Четырехугольник ATSN образует искомое сечение, так как все его вершины лежат в плоскости QSK , которая проходит через AM и прямую AK , параллельную A_1B , и, следовательно (QSK)\parallel A_1B .

б) 1) В плоскости грани AA_1B_1B построим отрезок AK \parallel A_1B . A_1B\parallel (AMK), AK=A_1B.

2) В плоскости BCC_1 проведем BR\perp MK , тогда по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, AR \perp MK как наклонная к плоскости BCC_1 , проекция которой BR\perp MK по построению.

3) Плоскость ABR \perp MK, следовательно, любая прямая плоскости ABR перпендикулярна прямой MK .

4) Проведем отрезок BH\perp AR . Длина этого отрезка — искомое расстояние.

Действительно, отрезок BH перпендикулярен двум пересекающимся прямым ( AR и MK ) плоскости AMK , параллельной A_1B.

5) Из \bigtriangleup MBK найдем высоту BR :

S_= \frac<1><2>MK\cdot BR= \frac<1><2>\cdot 2\sqrt<10>\cdot BR = BR\cdot \sqrt<10>.

Из прямоугольного \bigtriangleup ABR высоту BH найдем из условия AB\cdot BR=AR\cdot BH.

Задание №159

Тема: Угол между плоскостями

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 144 , а площадь боковой поверхности равна 108 .

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, которая проходит через вершину S данной пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45^ <\circ>.

б) Найдите чему равна площадь сечения пирамиды плоскостью SAC .

Найдем площадь основания пирамиды 144 − 108 = 36 , исходя из этого AB = 6 .

Определим площадь боковой грани \frac<108><4>=27 .

Примем SM за высоту SAB . Получим S_=\frac<2>=SM\cdot 3=27 , поэтому SM = 9 .

а) Пусть SH – высота пирамиды, H – середина основания. Исходя из этого SH – прямая, по которой пересекаются данные плоскости, так же она перпендикулярна прямым AH и MH и другим прямым, лежащим в плоскости основания пирамиды. От сюда следует, что угол между плоскостью SAC и плоскостью SMH – это угол AHM , который равен 45^ <\circ>.

Все права защищены.

Служба поддержки портала

Добавьте сайт в закладки

Сохраните в соц. сети

Подготовьтесь к экзаменам!

Создайте стандартный или индивидуальный тест ЕГЭ и получите предварительные результаты экзамена онлайн



Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Определение скалярного произведения


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать