Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры.

В этой статье мы поговорим об универсальной тригонометрической подстановке. Она подразумевает выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса какого-либо угла через тангенс половинного угла. Более того, такая замена проводится рационально, то есть, без корней.

Сначала мы запишем формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла. Дальше покажем вывод этих формул. А в заключение рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Навигация по странице.

Синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла

Для начала запишем четыре формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла .

Указанные формулы справедливы для всех углов , при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы:

  • Например, формулы для синуса и косинуса и имеют место для , где z – любое целое число, так как при тангенс половинного угла не определен.
  • Формула справедлива для и , так как при не определен тангенс угла , и более того обращается в нуль знаменатель дроби, а при не определен тангенс половинного угла.
  • Формула , выражающая котангенс через тангенс половинного угла, справедлива для , так как при не определен котангенс, при не определен тангенс половинного угла, а при знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса.

Представим синус и косинус по формулам двойного угла как и соответственно. Теперь выражения и запишем в виде дробей со знаменателем 1 как и . Дальше на базе основного тригонометрического тождества заменяем единицы в знаменателе на сумму квадратов синуса и косинуса, после чего получаем и . Наконец, числитель и знаменатель полученных дробей делим на (его значение отлично от нуля при условии ). В итоге, вся цепочка действий выглядит так:

На этом вывод формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного угла, закончен.

Осталось вывести формулы для тангенса и котангенса. Теперь, учитывая полученные выше формулы, и формулы и , сразу получаем формулы, выражающие тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

Итак, мы вывели все формулы для универсальной тригонометрической подстановки.

Примеры использования универсальной тригонометрической подстановки

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Приведите выражение к выражению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию .

Здесь следует использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Применим к косинусу и синусу четырех альфа формулы, выражающие их через тангенс половинного угла. В результате останется лишь упростить вид полученного выражения, имеем

.

Как мы уже сказали в самом начале статьи, основное предназначение универсальной тригонометрической подстановки заключается в преобразовании исходного рационального тригонометрического выражения, содержащего синус, косинус, тангенс и котангенс, к рациональному выражению с одной единственной тригонометрической функцией, а именно, с тангенсом половинного угла. А такое преобразование особенно полезно при решении тригонометрических уравнений определенного вида, а также при интегрировании тригонометрических функций.



Распределение Пуассона


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать