Разностный метод для уравнения колебаний мембраны

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 1520 ; Нарушение авторских прав

Б) Уравнение колебаний струны. Неявная схема

А) Уравнение колебаний струны. Явная схема

Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой стру­ны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (рис. 8.1):

Рис. 8.1

Струна совершает плоскиеколебания, т. е. точки стру­ны перемещаются параллельно плоскости t = 0.

Функция u(х, t) выражает смещение точки х струны в момент времени t от прямолинейной формы.

Начальные условия (8.12) означают следующее. Фор­ма струны в начальный момент времени t = 0 выражает­ся функцией μ(x). Скорость перемещения точки х стру­ны в момент времени t = 0 равна значению функции μ0(х).

Краевые условия (8.13) говорят о том, что левый конец струны с течением времени совершает смещение μ1(t), a правый конец – смещение μ2(t).

При этом предполагается, что начальные условия (8.12) и кра­евые условия (8.13) должны быть согласованы между со­бой в угловых точках, т. е. выполнены условия u(0, 0) = μ(0) = μ1(0), u(а, 0) = μ(a) = μ2(a).

На рис. 8.1 представлен случай, когда

Введем сеточную область (рис. 8.2, а). В прямоуголь­ной области 0 £ x £ a,

(xi, tk), xi = ih, i = l. N;

tk = , k = 0, 1, . , M; τ = (8.14)

Рассмотрим уравнение (8.11) в точках (xi, tk), i = 1. N - 1, k = 1. М - 1, и заменим производные разно­стными формулами

utt(xi, tk)=

uxx(xi, tk)=

На рис. 8.2, б изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.16). Разностное уравнение (8.16) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1)

На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из ко­торых следует, что

Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной ut(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора:

u(xi, t1) = u(xi, τ) = u(xi, 0) + ut(хi, 0)τ + utt(xi, 0)τ 2 + O(τ 3 ). (8.18)

Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную

Теперь, учитывая условие ut(x, 0) = μ0(x) в (8.12), из (8.18), (8.19) выводим формулу для вычисления значений функции на первом слое:

u(xi, t1) = μ(xi) + μ0(xi)τ + (с 2 μ''(хi) + f(хi, 0)) + О(τ 3 ). (8.20)

С учетом (8.13) окончательно получим для приближен­ных значений искомой функции на первом слое формулы

ui, 1 = μ(xi) + μ0(xi)τ +

Учитывая граничные условия (8.13), из (8.16) выводим формулы для вычисления значений на слоях k = 2. М:

ui, k = 2ui, k - 1 - ui, k - 2 +

Таким образом, получены явные формулы (8.17), (8.21), (8.22) ре­шения разностной задачи.

Разностная схема называется устойчивой, если она имеет единственное решение и малым изменениям исход­ных данных отвечают малые изменения решения.

Известен следующий факт: для выполнения условия устойчивости разностной схемы (8.16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло­вие Куранта сτ < h.

Говорят, что решение разностной схемы (8.16) сходится к решению исходной задачи (8.11) – (8.13), если выполняется условие

при h ® 0 и τ ® 0.

Если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, решение разностной схемы сходится к решению задачи.

Сформулируем алгоритм решения задачи о колебани­ях струны (8.11) –(8.13) с помощью явной разностной схе­мы (8.16).

1. Построить сеточную область

(xi, tk), xi = ih, i = 0, l. N;

tk = , k = 0, 1, . , M; τ =

выбирая шаги h и τ так, чтобы выполнялось условие ус­тойчивости (условие Куранта) сτ < h.

ui, 1 = μ(xi) + μ0(xi)τ +

ui, k = 2ui, k - 1 - ui, k - 2 +

Построим неявную схему для уравнения колебаний струны (8.11):

=

(8.25)

i = 1. N – 1; k = 1. M; .

Для устойчивости схемы (8.25) параметры с, h, τ, σ должны удовлетворять условию:

Если 1/4 £ σ £ 1/2, схема (8.25) безусловно устойчива.

Шаблон схемы (8.25) изображен на рис. 8.4

Значения решения на нулевом и первом слоях вычис­ляют по формулам (8.23). На каждом k-м слое (k = 2, 3, . , М) решают методом прогонки систему уравнений относительно ui,k+1 i = 1, 2, . , N - 1:

(8.26)

Алгоритм решения неявной разностной схемы для уравнения колебаний струны:

0. Построить сеточную область, выбирая шаги h, τ и па­раметр σ так, чтобы выполнялось условие устойчивости

ui,1 = μ(xi) + μ0(xi)τ + , (8.28)

2.1. Вычислим правые части (8.26):

(8.29)

2.2. Вычислим прогоночные коэффициенты;

(8.30)

(8.31)

. (8.32)

Рассмотрим задачу для уравнения колебаний однород­ной прямоугольной мембраны:

Введем сеточную область:

(xi, yj, tk), xi = ihx, i = 0, . Nx, hx = ,

yj = jhy, j = 0, . Ny, hy = ,

tk = , k = 0, . M, τ = .

Обозначим ui,j,k = u(xi, уj, tk). Заменяя производные Разностными формулами для уравнения (8.35), получим разностное уравнение с порядком аппроксимации O( ):

+

+ (8.39)

Таким образом, получена явная разностная схема, аналогичная явной схеме для уравнения колебаний струны.

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!



Скаляры и векторы
Локальная и интегральная теоремы Лапласа