34. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная к кривой на плоскости

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , -- это (где -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику при , то есть касательной, проходящей через точку с угловым коэффициентом, равным производной функции в точке :

Пусть дана некоторая кривая , и в точке к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии .

Если касательная имеет угловой коэффициент , то нормаль имеет угловой коэффициент , поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен , а Поэтому уравнение нормали к линии , проведённой через точку , имеет вид:

Уравнение нормальной плоскости

1.

2.

4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,

Обозначим j = j ( M ) — угол между векторами A B и

Точка поверхности F ( x , y , z ) = 0 называется обыкновенной , если в этой точке

  1. частные производные F ' x , F ' y , F ' z непрерывны;
  2. ( F ' x ) 2 + ( F ' y ) 2 + ( F ' z ) 2 ≠ 0 .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности .

Теорема 1. Если M ( x 0 , y 0 , z 0 ) — обыкновенная точка поверхности F ( x , y , z ) = 0 , то вектор

является нормальным к этой поверхности в точке M ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 128).

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f ( x , y ) дифференцируема в точке a ( x 0 , y 0 ) . Ее графиком является поверхность

Положим z 0 = f ( x 0 , y 0 ) . Тогда точка A ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z суть

F ' x = f ' x , F ' y = f ' y , F ' z = − 1

и в точке A ( x 0 , y 0 , z 0 )

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F ( x , y , z ) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:

f ' x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f ' y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a ( x 0 , y 0 ) в произвольную точку p ( x , y ) есть B Q (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть

( z − z 0 ) = f ' x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f ' y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 )

Здесь в правой части стоит дифференциал d z функции z = f ( x , y ) в точке a ( x 0 , x 0 ). Следовательно,

d f ( x 0 , y 0 ). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f ( x , y ) в точке ( x 0 , y 0 , z 0 = f ( x 0 , y 0 )).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a .

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.



Интегралы от тригонометрических функций


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать