Как решить уравнение прямой через две точки?

Математика - не скучная наука, как кажется порой. В ней есть много интересного, хотя порой и непонятного для тех, кто не горит желанием в ней разбираться. Сегодня речь пойдёт об одной из самых часто встречающихся и простых тем в математике, а точнее той её области, что на грани алгебры и геометрии. Поговорим о прямых и их уравнениях. Казалось бы, это скучная школьная тема, которая не сулит ничего интересного и нового. Однако это не так, и в этой статье мы попытаемся вам доказать нашу точку зрения. Прежде чем перейти к самому интересному и описать уравнение прямой через две точки, мы обратимся к истории всех этих измерений, а затем выясним, зачем это всё было нужно и почему сейчас тоже не помешает знание последующих формул.

Ещё в древности математики увлекались геометрическими построениями и всевозможными графиками. Трудно сегодня сказать, кто первым придумал уравнение прямой через две точки. Но можно предположить, что этим человеком был Евклид - древнегреческий учёный и философ. Именно он в своём трактате "Начала" зародил основу будущей евклидовой геометрии. Сейчас этот раздел математики считается основой геометрического представления мира и проходится в школе. Но стоит сказать, что евклидова геометрия действует только на макроуровне в нашем трёхмерном измерении. Если же рассматривать космос, то не всегда удаётся представить с помощью неё все те явления, что там происходят.

После Евклида были и другие учёные. И они совершенствовали и осмысляли то, что он открыл и написал. В конце концов, получилась устойчивая область геометрии, в которой всё до сих пор остаётся незыблемым. И уже тысячелетиями доказано, что уравнение прямой через две точки составить очень легко и просто. Но прежде чем приступить к объяснению того, как это сделать, обсудим немного теории.

Прямая - это бесконечный в обоих направлениях отрезок, который можно поделить на бесконечное множество отрезков любой длины. Для того чтобы представить прямую, чаще всего используют графики. Причём графики могут быть как в двумерной, так и в трёхмерной системе координат. И строятся они по координатам точек, им принадлежащих. Ведь если рассматривать прямую, то можно заметить, что она состоит из бесконечного множества точек.

Однако есть то, чем прямая очень сильно отличается от других видов линий. Это её уравнение. В общем виде оно очень простое, в отличие, скажем, от уравнения окружности. Наверняка, каждый из нас проходил его ещё в школе. Но всё же запишем его общий вид: y=kx+b. В следующем разделе мы подробно разберём, что означает каждая из этих букв и как решать это незамысловатое уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой

То равенство, что было представлено выше, и является необходимым нам уравнением прямой. Стоит пояснить, что здесь что означает. Как можно догадаться, y и x - это координаты каждой точки, принадлежащей прямой. Вообще, уравнение это существует только потому, что каждой точке любой прямой свойственно находиться в связи с другими точками, а поэтому существует закон, связывающий одну координату с другой. Этот закон и определяет, как выглядит уравнение прямой через две данные точки.

Почему именно две точки? Всё это потому, что минимально количество точек, необходимое для построения прямой в двумерном пространстве, равно двум. Если же брать трёхмерное пространство, то количество точек, необходимое для построения одной-единственной прямой также будет равно двум, так как три точки уже составляют плоскость.

Существует также теорема, доказывающая, что через две любые точки возможно провести единственную прямую. Этот факт можно проверить на практике, соединив линейкой две случайные точки на графике.

Теперь рассмотрим конкретный пример и покажем, как решать это пресловутое уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Рассмотрим две точки, через которые нужно построить прямую. Зададим им координаты, например, М1(2;1) и М2(3;2). Как мы знаем из школьного курса, первая координата - это значение по оси OX, а вторая - по оси OY. Выше было приведено уравнение прямой через две точки, и, чтобы нам узнать недостающие параметры k и b, нужно составить систему из двух уравнений. Фактически она будет составлена из двух уравнений, в каждом из которых будут две наши неизвестные постоянные:

Теперь остаётся самое главное: решить эту систему. Делается это довольно просто. Для начала выразим из первого уравнения b: b=1-2k. Теперь надо подставить полученное равенство во второе уравнение. Делается это заменой b на полученное нами равенство:

Теперь, когда мы узнали, чему равно значение коэффициента k, пора узнать величину следующей постоянной - b. Делается это ещё проще. Так как нам известна зависимость b от k, мы можем подставить значение последней в первое уравнение и узнать неизвестное значение:

Зная оба коэффициента, теперь можем подставить их в исходное общее уравнение прямой через две точки. Таким образом, для нашего примера получаем такое уравнение: y=x-1. Это и есть искомое равенство, которое мы должны были получить.

Перед тем как перейти к заключению, обсудим применение этого раздела математики в повседневной жизни.

Применение

Как такового применения уравнение прямой через две точки не находит. Но это не значит, что это не нужно нам. В физике и математике очень активно применяются уравнения прямых и свойства, из них вытекающие. Вы можете это даже не замечать, но математика окружает нас. И даже такие, на первый взгляд, ничем не примечательные темы, как уравнение прямой через две точки, оказываются очень полезны и очень часто применяются на фундаментальном уровне. Если на первый взгляд кажется, что это совсем нигде не может пригодиться, то вы ошибаетесь. Математика развивает логическое мышление, которое никогда не будет лишним.

Заключение

Теперь, когда мы разобрались с тем, как строить прямые по двум данным точкам, нам ничего не стоит ответить на любой вопрос, связанный с этим. Например, если преподаватель скажет вам: " Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки", то вам не составит труда сделать это. Надеемся, что эта статья была полезной для вас.



Расстояние от точки до плоскости
Предел последовательности