56. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.

( - плотность кривой).

Координаты центра масс

Работа силы вдоль кривой l:

Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования

Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D . По каждой из этих кривых интеграл имеет, вообще говоря, свое значение. Определенный интеграл Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x)

Вычислим, например, интеграл по отрезку прямой АВ, соединяющему точки А(1, 0, 0) и В(1, 1, 1)

Уравнения прямой АВ: т.е. x = 1, y = z.

Выбирая за параметр y, имеем:

Вычислим теперь тот же интеграл по дуге параболы АВ, заданной уравнениями

x = 1, z = y2. Выбирая за параметр y ( x = 1, y = y , z = y 2 , yA = 0, yB = 1), получим:

Этот пример показывает, что значения интеграла зависят от формы кривой, по которой производится интегрирование.

Можно, однако, привести примеры криволинейных интегралов, значения которых по любым кривых, соединяющим данные точки А и В, будут одни и те же. Такими, как можно показать, являются интегралы:

и др.

Будем говорить, что интеграл в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможным кусочно-гладким кривым, лежащим в данной области и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы. В этом случае при записи интеграла достаточно указывать лишь начальную и конечную точки пути интегрирования, в связи с чем приняты обозначения:

или

Независимость криволинейного интеграла в области D от формы пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла, вдоль всякой замкнутой кривой L , лежащей в области D .

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл , где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – функции, непрерывные в области D , в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции (в области D ).

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) в области D имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:

в каждой точке области D .

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.



Необходимые и достаточные условия экстремума