Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

В этом разделе будет дан ответ на вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода $\int\limits_<\mathop \limits^\cup > $ не зависит от формы пути, соединяющего точки $\mathbf<\textit>$ и $\mathbf<\textit>$, а определяется только этими точками?

Будем предполагать, что в некоторой односвязной области $G$ на плоскости заданы непрерывно дифференцируемые функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, и все рассматриваемые точки, контуры и области принадлежат этой области.

Для того, чтобы интеграл $\int\limits_<\mathop \limits^\cup > $ не зависел от формы пути, соединяющего точки $\mathbf<\textit>$ и $\mathbf<\textit>$, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

Необходимость . Пусть $C=\mathop \limits^\cup $ - произвольный замкнутый контур, лежащий в области $G$, $\mathbf<\textit>$ и $\mathbf<\textit>$ - произвольные точки этого контура.

Достаточность . Пусть для любого контура $C\subset G$ выполняется $\oint\limits_C =0$. Пусть $\forall A\in G$, $\forall B\in G$ - произвольные точки, $\mathop \limits^\cup $ и $\mathop \limits^\cup $ - две различных кривых, соединяющих эти точки. $\mathop \limits^\cup $ - замкнутый контур, поэтому $\oint\limits_<\mathop \limits^\cup > =0\Rightarrow \oint\limits_<\mathop \limits^\cup > + \quad +\oint\limits_<\mathop \limits^\cup > =0\Rightarrow \quad \oint\limits_<\mathop \limits^\cup > -\oint\limits_<\mathop \limits^\cup > =0\Rightarrow \\ \int\limits_<\mathop \limits^\cup > =\int\limits_<\mathop \limits^\cup > $,

что и требовалось доказать.

Для того, чтобы интеграл $\oint\limits_C $ по любому контуру $\mathbf<\textit>$ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции $P, Q$ и их частные производные были непрерывны, и выполнялось условие $\frac<\partial Q><\partial x>=\frac<\partial P><\partial y>$.

Необходимость . От противного. Пусть для $\forall C\subset G$ выполняется $\oint\limits_C =0$, но существует точка $M_0 \in G$ такая, что $\left( <\frac<\partial Q><\partial x>-\frac<\partial P><\partial y>> \right)(M_0 )\ne 0$.

Выберем контур $\mathbf<\textit>$, целиком лежащий в этой окрестности. Если $\mathbf<\textit>$ - область ограниченная этим контуром, то, по формуле Грина, $\oint\limits_С <\partial x>-\frac<\partial P><\partial y>> \right)dxdy>> $.

Достаточность . Если в любой точке $M_0 \in G$ выполняется условие $\frac<\partial Q><\partial x>=\frac<\partial P><\partial y>$, то для любого контура $\mathbf<\textit>$

Таким образом, для того, чтобы криволинейный интеграл $\int\limits_<\mathop \limits^\cup > $ не зависел от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки <или, что то же самое, интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю>, требуется выполнение двух условий:

  1. Контур и ограниченная им область лежат в некоторой односвязной области, в которой
  2. $P, Q$ и их частные производные непрерывны и $\frac<\partial Q><\partial x>=\frac<\partial P><\partial y>$.

Причина - функции $\mathbf<\textit

>$ и$\mathbf<\textit< Q>>$ непрерывны всюду, кроме начала координат; удаление точки из плоскости лишает её свойства односвязности.

Читайте также:

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Перейти к оглавлению $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow $

Если у Вас есть вопросы или комментарии, Вы можете оставить их ниже.

Комментарии ( 0 )

В Контакте

Все права защищены. При использовании материалов сайта ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна.



Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла?
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями