Векторное поле

  • 1 Определение
  • 2 Частные случаи векторных полей
    • 2.1 Векторные поля на прямой
    • 2.2 Векторные поля на плоскости
    • 2.3 Векторные поля в трёхмерном пространстве
      • 2.3.1 Интегральные кривые (силовые линии)
    • 2.4 Векторные поля в n-мерном пространстве
  • 3 Физические примеры
  • 4 Особенности употребления термина в физике Литература

    Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор.

    Когда исходное пространство — евклидово (конечномерное векторное пространство со скалярным произведением), понятие векторного поля становится наглядным. Векторное поле, заданное на евклидовом пространстве, соответствует полю направлений, где каждой точке пространства сопоставляется некоторая прямая, проходящая через данную точку. Тогда векторное поле интерпретируется как способ задания движений некоторой динамической системы: вектор в данной точке описывает направление и скорость движения изображающей точки по фазовой кривой. Точка пространства, в которой векторное поле равно нулю, называется особой точкой векторного поля. В этом случае направление движения не определено, и соответствующая фазовая кривая вырождается в точку.

    В более общем случае, когда исходное пространство является многообразием, векторное поле — это сечение касательного расслоения к данному многообразию.

    В физике термин векторное поле кроме общего значения, описанного выше, имеет специальное значение, в основном в отношении фундаментальных полей (см. ниже). Смысл этого употребления сводится к тому, что фундаментальные физические поля классифицируются по природе их потенциала, и один из таких типов — векторные поля (как электромагнитное или глюонное поля).

    Термины поле и силовые линии поля (англ.  field, lines of force ) ввёл в физику Майкл Фарадей около 1830 г. при исследовании электромагнитных явлений. Основы аналитической теорию силовых полей разработали Максвелл, Гиббс и Хевисайд во второй половине XIX века.

    1. Определение

    Пусть X  — заданное многообразие, T  — касательное расслоение, то есть отображение, которое каждой точке X сопоставляет касательное пространство в данной точке T | X , тогда сечение касательного расслоения является векторным полем.

    Таким образом, векторное поле — это отображение, которое ставит каждой точке многообразия в соответствие вектор из касательного пространства в данной точке.

    2. Частные случаи векторных полей

    2.1. Векторные поля на прямой

    Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле.

    2.2. Векторные поля на плоскости

    Если  — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

    2.3. Векторные поля в трёхмерном пространстве

    Если  — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

    В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля

    где точка означает скалярное произведение,  — векторный элемент криволинейного пути, вдоль которого происходит интегрирование, Fτ  — проекция на (положительную) касательную к криволинейному пути, dl  — скалярный элемент пути (элемент длины), C — конкретная кривая — путь интегрирования (обычно полагаемая достаточно гладкой). Пожалуй, простейшим физическим прообразом такого интеграла является работа силы , действующей на точку при перемещении точки по заданному пути.

    Циркуляция — интеграл по замкнутому контуру:

    где подынтегральное выражение совпадает с описанным чуть выше, а отличие состоит в пути интегрирования C, который в данном случае по определению замкнут, что обозначается кружком на знаке интеграла.

    Поток векторного поля через поверхность S определяется как интеграл по S:

    где Fn  — проекция вектора поля на нормаль к поверхности,  — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на dS . Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.

    Аналогом производной для векторного поля выступает тензор частных производных (якобиан), который в декартовых координатах имеет вид:

    Дивергенция векторного поля — след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле:

    Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла

    Теорема Остроградского-Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.

    Ротор — векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

    Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

    Градиент — важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f:

    или, записывая с помощью наблы:

    Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным; оно может быть представлено как ротор некоторого другого векторного поля.

    Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).

    Имеет место теорема Гельмгольца: если всюду в области D у векторного поля определены дивергенция и ротор, то это поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального поля.

    Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.

    2.3.1. Интегральные кривые (силовые линии)

    Силовой линией (векторной линией или интегральной кривой, в зависимости от контекста) для поля называется кривая , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

    Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.

    Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.

    Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.

    2.4. Векторные поля в n-мерном пространстве

    Все перечисленные для векторных полей в трёхмерном пространстве конструкции и свойства непосредственно обобщаются на любую конечную размерность пространства n.

    При этом большинство таких обобщений вполне тривиальны, за исключением определения ротора, для корректного построения которого в произвольном n-мерном случае, в отличие от трёхмерного, приходится воспользоваться внешним, а не векторным (которое определено лишь для трёхмерного случая) произведением. При n=2 соответствующая операция принимает вид псевдоскалярного произведения.

    Кроме того, в случае произвольного n нужна определенная аккуратность c определением потока. Основные определения оказываются полностью аналогичными для потока через гиперповерхность размерности (n — 1).

    3. Физические примеры

    В физике векторное поле — это чаще всего поле некоторой силы (или тесно связанной с силой напряжённости поля), скорости, смещений или иной векторной величины.

    • Электромагнитное поле. Это поле дает примеры векторных полей (вообще говоря — зависящих от времени) в старом трёхмерном смысле: напряжённость электрического поля, поле магнитной индукции, векторный потенциал (трёхмерный), а также такие их функции, как, например, вектор Пойнтинга, также являющийся векторным полем в математическом смысле. Также электромагнитное поле является примером векторного поля в более современном (четырёхмерном) смысле, как это несколько подробнее описано ниже).
      • Частный случай электромагнитного поля — электростатическое поле — дает один из простейших и важнейших примеров векторного поля (трёхмерным векторным полем, не зависящим от времени, в электростатике является напряжённость электрического поля).
      • Другой интересный частный случай дает магнитостатика, которая исследует векторное поле с несколько другими свойствами, чем электростатика — вихревое поле напряжённости магнитного поля или магнитной индукции, к тому же связанное с другим векторным полем — полем векторного потенциала.
    • Гравитационное поле: в классической ньютоновской теории гравитации напряжённость гравитационного поля представляет собой векторное поле, формально полностью аналогичное полю напряженности электрического поля в электростатике, за исключением разницы в численных коэффициентах (константах), в том числе в их знаках.
    • Поля деформаций (смещений) и напряжений твёрдого тела.
    • Поле скоростей жидкости в гидрогазодинамике или газа в аэродинамике. Гидродинамическая аналогия является наиболее наглядной для физического понимания основных конструкций векторного анализа. При гидродинамической (гидравлической) интерпретации поле — это поле скоростей в жидкости. Векторное поле, в таком случае, соответствует установившемуся потоку (то есть поле подразумевается зависящим лишь от пространственных координат). Если поток меняется со временем, то его следует описывать переменным векторным полем, зависящим от времени.

    Исторически гидродинамика оказала огромное влияние на формирование основных конструкций векторного анализа и самой его терминологии. Так, гидродинамическое происхождение имеют такие понятия, как

    • поток векторного поля,
    • вихрь (ротор) и циркуляция векторного поля,
    • линия тока

    а также, в той или иной мере, и многие другие (практически каждое из них имеет если не гидродинамическое происхождение, то гидродинамическую интерпретацию).

    4. Особенности употребления термина в физике

    В целом в физике термин векторное поле имеет то же значение, что и в математике, описанное выше. В этом смысле, векторным полем можно назвать любую векторнозначную физическую величину, являющуюся функцией точки пространства, зачастую зависящую также и от времени.

    Однако существует и специфический случай применения этого термина, встречающийся главным образом в классификации фундаментальных физических полей. В этом случае слова «векторное поле» подразумевают, что векторным полем (4-векторное или более высокой размерности, если мы имеем дело с абстрактными многомерными теоретическими моделями) является наиболее фундаментальная величина — потенциал, а не её производные (напряженность поля и т. п.). Так, например, к векторным полям относят электромагнитное поле, потенциал которого является 4-векторным полем, в то время как его напряженность с современной точки зрения есть тензор. Гравитационное поле называют в этом смысле тензорным, поскольку его потенциал есть тензорное поле.

    Практическим синонимом слова «векторное поле» в этом смысле является в современной физике термин векторная частица (также, разводя эти близкие понятия, о векторной частице говорят как о возбуждении векторного поля, или, выражаясь несколько более традиционно — векторная частица есть квант векторного поля). Ещё один практический синоним — частица спина 1 или поле спина 1.

    Из фундаментальных полей к векторным (в указанном смысле) относятся электромагнитное (фотонное), глюонное (поле сильных взаимодействий), а также поле массивных векторных бозонов — переносчиков слабого взаимодействия. Гравитационное же поле, в отличие от перечисленных, является полем тензорным.

    С рассмотренной классификацией (классификацией по спину фундаментального бозонного поля) непосредственно связаны некоторые свойства соответствующего поля, например, притягиваются или отталкиваются при взаимодействии посредством этого поля частицы одинакового заряда (относящегося к данному типу взаимодействия), одинаков или противоположен такой заряд у частиц и античастиц. Частицы, взаимодействующие посредством векторного поля отталкиваются при одинаковом заряде, а притягиваются при противоположном, а пара частица — античастица имеет противоположный друг другу заряд (как, в частности, в случае электромагнитного поля) — в противоположность свойствам гравитационного поля и гравитационных зарядов.

    Литература

    • Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М .: Высшая школа, 1966, 251 с.
    • Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие, — Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
    • Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М .: Физматлит, 1963, 411 с.
    • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М .: Наука, 1966.
    скачать

    Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 13.07.11 03:35:51



    Некоторые приложения векторного произведения
    Определение смешанного произведения, его геометрический смысл


  • Узнать стоимость за 15 минут
    • Тип работы
    • Часть диплома
    • Дипломная работа
    • Курсовая работа
    • Контрольная работа
    • Реферат
    • Научно - исследовательская работа
    • Отчет по практике
    • Ответы на билеты
    • Тест/экзамен online
    • Монография
    • Эссе
    • Доклад
    • Компьютерный набор текста
    • Компьютерный чертеж
    • Рецензия
    • Перевод
    • Репетитор
    • Бизнес-план
    • Конспекты
    • Проверка качества
    • Единоразовая консультация
    • Аспирантский реферат
    • Магистерская работа
    • Научная статья
    • Научный труд
    • Техническая редакция текста
    • Чертеж от руки
    • Диаграммы, таблицы
    • Презентация к защите
    • Тезисный план
    • Речь к диплому
    • Доработка заказа клиента
    • Отзыв на диплом
    • Публикация статьи в Вак
    • Публикация статьи в Scopus
    • Дипломная работа MBA
    • Повышение оригинальности
    • Шрифт, pt
    • 12 pt
    • 14 pt
    • Другой
    Прикрепить файл
    Заказать