§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства.

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a , b и с , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с , который:

1. Перпендикулярен векторам a и b , т. е. с ^ а и с ^ b ;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3. Векторы a , b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [ а , b ]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k , j х k = i , k х i = j .

Докажем, например, что i х j = k .

2) | k |=1, но | i x j | = | i | • | J | • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а х b =( b х a ) (см. рис. 19).

Векторы а х b и b х а коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а х b и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a x b = -( b x a ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l ( а х b ) = ( l а ) х b = а х ( l b ).

Пусть l >0. Вектор l ( а х b ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )х b также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l ( а х b ) и ( l а )х b коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l ( a х b )= l а х b . Аналогично доказывается при l <0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а || b <=> а х b = 0 .

В частности, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =ах i + ay j + az k и b = bx i + by j + bz k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b | а х b | = | а | * | b | sin g , т. е. S пар = | а х b |. И, значит, D S =1/2| а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М = ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v = w х r , где r = ОМ , где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).



Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов