Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, норма которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы ориентация пространства и тройки векторов (по порядку cтоящих в произведении и получившегося вектора) совпадали. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Содержание

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году [1] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю [2] .

Векторным произведением вектора a → <\displaystyle <\vec >> на вектор b → <\displaystyle <\vec >> в пространстве R 3 <\displaystyle \mathbb ^<3>> называется вектор c → <\displaystyle <\vec >> , удовлетворяющий следующим требованиям:

В качестве определения можно взять описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a → , b → , c → <\displaystyle <\vec >,<\vec >,<\vec >> в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке A <\displaystyle A>(то есть выберем произвольно в пространстве точку A <\displaystyle A>и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой A <\displaystyle A>). Концы векторов, совмещённых началами в точке A <\displaystyle A>, не лежат на одной плоскости, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a → , b → , c → <\displaystyle <\vec >,<\vec >,<\vec >> в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c → <\displaystyle <\vec >> кратчайший поворот от вектора a → <\displaystyle <\vec >> к вектору b → <\displaystyle <\vec >> виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора ( a → <\displaystyle <\vec >> ), второй строкой координаты второго вектора ( b → <\displaystyle <\vec >> ) и третьей строкой координаты третьего вектора ( c → <\displaystyle <\vec >> ). Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
  • Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.

Геометрические свойства векторного произведения

  • Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  • Модуль векторного произведения [ a → , b → ] <\displaystyle [<\vec >,\;<\vec >]> равняется площади S <\displaystyle S>параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a → <\displaystyle <\vec >> и b → <\displaystyle <\vec >> (см. Рисунок 1)
  • Если e → <\displaystyle <\vec >> — единичный вектор, ортогональный векторам a → <\displaystyle <\vec >> и b → <\displaystyle <\vec >> и выбранный так, что тройка a → , b → , e → <\displaystyle <\vec >,<\vec >,<\vec >> — правая, а S <\displaystyle S>— площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
[ a → , b → ] = S ⋅ e → <\displaystyle [<\vec >,\;<\vec >]=S\cdot <\vec >>
  • Если c → <\displaystyle <\vec >> — какой-нибудь вектор, π <\displaystyle \pi >— любая плоскость, содержащая этот вектор, e → <\displaystyle <\vec >> — единичный вектор, лежащий в плоскости π <\displaystyle \pi >и ортогональный к c → <\displaystyle <\vec >> , g → <\displaystyle <\vec >> — единичный вектор, ортогональный к плоскости π <\displaystyle \pi >и направленный так, что тройка векторов e → , c → , g → <\displaystyle <\vec >,<\vec >,<\vec >> является правой, то для любого лежащего в плоскости π <\displaystyle \pi >вектора a → <\displaystyle <\vec >> справедлива формула
[ a → , c → ] = P r e → a → ⋅ | c → | ⋅ g → . <\displaystyle [<\vec >,\;<\vec >]=\mathrm _<\vec ><\vec >\cdot |<\vec >|\cdot <\vec >.>
  • При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.
V = | ⟨ a → , [ b → , c → ] ⟩ | . <\displaystyle V=|\langle <\vec >,\;[<\vec >,\;<\vec >]\rangle |.>

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель:

Если базис левый ортонормированный, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания, аналогично:

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы a → <\displaystyle <\vec >> и b → <\displaystyle <\vec >> во вспомогательной правой системе координат ( i ′ = i , j ′ = j , k ′ = − k <\displaystyle \mathbf '=\mathbf ,\mathbf '=\mathbf ,\mathbf '=-\mathbf > ):

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы i <\displaystyle \mathbf > , j <\displaystyle \mathbf > , k <\displaystyle \mathbf > — стандартные обозначения для ортов в R 3 <\displaystyle \mathbb ^<3>> : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

Пусть a → <\displaystyle <\vec >> равен векторному произведению:

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n ( n − 1 ) / 2 <\displaystyle n(n-1)/2>независимых компонент в n <\displaystyle n>-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу A <\displaystyle A>как столбец векторов, тогда

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A <\displaystyle A>как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например ( A <\displaystyle A>— матрица, x → <\displaystyle <\vec >> , y → <\displaystyle <\vec >> — векторы):

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

Размерности, не равные трём

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение R n × R n → R n <\displaystyle \mathbb ^\times \mathbb ^\to \mathbb ^> , можно ввести только для размерностей 3 и 7.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора ( n − 1 ) <\displaystyle (n-1)>векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в n <\displaystyle n>-мерном пространстве на операцию с n <\displaystyle n>сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты ε i 1 i 2 i 3 … i n <\displaystyle \varepsilon _i_<2>i_<3>\ldots i_>> с n <\displaystyle n>индексами, можно явно записать такое ( n − 1 ) <\displaystyle (n-1)>-валентное векторное произведение как

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности ( n − 1 ) <\displaystyle (n-1)>.

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при n ≠ 3 <\displaystyle n\neq 3>не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

Для двумерного случая операция

называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат есть псевдоскаляр. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

Векторное произведение вводит на R 3 <\displaystyle \mathbb ^<3>> структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению R 3 <\displaystyle \mathbb ^<3>> с касательной алгеброй Ли s o ( 3 ) <\displaystyle so(3)>к группе Ли S O ( 3 ) <\displaystyle SO(3)>ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.



Производные высших порядков