Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах путем сведения его к повторному

Рассмотрим область D, ограниченную линиями x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b]. Если любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N1 и N2 (рис.1), то такую область назовем правильнойв направлении оси Оу. Аналогично определяется область, правильная в направленииоси Ох. Область, правильную в направлении обеих координатных осей, будем называть просто правильной. Например,правильная область изображена на рис.3.

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

, (14)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

ТЕОРЕМА 1.Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две подобласти D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2:

. (15)

Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1. Используя теорему 1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

(16)

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

где Р – точка, принадлежащая области D .

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

= (18)

ТЕОРЕМА 2.Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

. (19)

Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.5).

►Здесь а = 0, b = 1, φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 – x.Тогда

Вычислить двойной интеграл по прямоугольнику:

, , .

.◄

Изменить порядок интегрирования: .

►Изобразим область интегрирования:

Тогда получим .◄

Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле .

►Из пределов интегрирования в повторном интеграле следует, что область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми и , линией и прямой , т.е.

Линия представляет собой дугу окружности с центром и радиусом, равным 1.

Область интегрирования , правильная относительно оси (всякая прямая, параллельная оси и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает ее границу в двух точках), проектируется на ось в отрезок . Верхняя граница области на отрезке задана двумя аналитическими выражениями: и . Следовательно, разбиваем область интегрирования прямой, параллельной оси и проходящей через точку пересечения линий и , абсцисса которой равна , на две области и :

Итак, .◄

ВОПРОСЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

1. Дайте определение первообразной функции.

2.Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?

3. Напишите таблицу основных интегралов.

4. Докажите простейшие свойства неопределенного интеграла.

5. Выведите формулу замены переменной в неопределенном ин­теграле.

6. Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить при помощи метода интегрирования по частям.

7. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей I, II, III и IV типов.

8. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие множители. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае простых дейст­вительных корней знаменателя. Приведите пример.

9. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае действительных кратных кор­ней знаменателя. Приведите пример.

10. Изложите правило разложения правильной рациональной

дроби на простейшие дроби для случая, когда среди корней знаме­нателя имеются пары простых комплексно-сопряженных корней.

11.Изложите правило разложения правильной рациональной дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеется пара кратных комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.

12.Изложите методы нахождения интегралов вида

, где р, q,. — рациональные числа; R — рациональная функция. Приведите пример.

13. Изложите метод нахождения интегралов вида , где R- рациональная функция. Приведите примеры.

14. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных и трансцендентных функций?

15. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

16. Пусть . Как это истолковать геометрически?

17. Докажите, что .

18. Докажите основные свойства определенного интеграла: а) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла; б) определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых; в) = + , где .

19. Докажите теорему о среднем для определенного интеграла и выясните ее геометрический смысл.

20. Докажите, что является первообразной функцией для функции f(x). Выведите формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определенного интеграла.

21. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

22. Выведите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Приведите пример.

23. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла у которого один или оба предела интегрирования бесконечны), укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов первого рода.

24. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции), укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов второго рода.

25. Сформулируйте правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра.

26. Выведите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции в прямоугольной системе координат. Приведите примеры

27. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат. Приведите примеры.

28. Выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения. Приведите примеры.



Расстояние между двумя точками на плоскости
Интегрирование по частям


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать