Двойные интегралы. Определение двойных интегралов. Повторные интегралы. Тройные интегралы , страница 2

.

б) Построим область интегрирования D (см. рис.1.3). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до ; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,

.

Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности до прямой x=1–y. В результате получим

.

Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.

1.4. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат

Пример 1.3. Вычислить двойной интеграл

Решение. Построим область интегрирования (см. рис.1.4). Расставим пределы в соответствующих повторных интегралах и произведем вычисления. В результате, получим

.

Пример 1.4. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x 2 =y, x 2 =4y, y=4.

Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 1.5). Видно, что полученная фигура состоит из двух одинаковых областей: D1 и D2. следовательно

.

Интегрирование во внешнем интеграле будем производить по переменной y (в противном случае область интегрирования пришлось бы разбивать на две части). Тогда переменная y будет изменяться от 0 до 4, а переменная x, соответственно, от параболы до параболы . В результате получаем

.

1.5. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат

Наиболее употребительная система координат на плоскости – это полярные координаты. Они связаны с декартовыми координатами x и y равенствами:

(1.8)

При переходе от декартовых координат к полярным, двойной интеграл преобразуется следующим образом

. (1.9)

Если область интегрирования D является простой в осевом направлении, т.е. любой луч, выходящий из центра координат, пересекает границу области интегрирования не более чем в двух точках, то двойной интеграл можно записать в виде повторного:

. (1.10)

Пример 1.5. Вычислить интеграл

где .

Решение. Перейдем в полярную систему координат x=rsinj, y=rcosj, x 2 +y 2 =r 2 . Тогда уравнение границы области D примет вид r=2cosj. Это есть уравнение окружности

(рис. 1.6). Здесь j изменяется от –p/2 до p/2, а r от 0 до окружности r=2cosj. Таким образом, получаем

Пример 1.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Запишем уравнение линии в полярной системе координат

,

т.е.

.

Построим эту линию (рис. 1.7). Поскольку полученная формула симметрична относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четвертой части этой фигуры, а затем умножить полученный результат на 4:

.

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Определение и вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области T трехмерного пространства задана ограниченная функция трех переменных f(x,y,z). Разобьем эту область на n произвольных частей с объемами Dvi. В каждой частичной области возьмем произвольную точку M(xi,yi,zi) и составим сумму:

,

которая называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области T. Если интегральная сумма при n®¥ (при этом диаметры всех областей должны стремится к нулю: ) имеет предел, то этот предел называется тройным интегралом:

. (2.1)

Отметим, что тройные интегралы обладают свойствами, аналогичные свойствам двойных интегралов.

Предположим, что область T является простой в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, проведенная параллельно оси Oz, пересекает границу области T не более чем в двух точках. Это означает, что область T ограничена снизу поверхностью z=z1(x,y), сверху поверхностью z=z2(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Тогда тройной интеграл можно записать в виде

. (2.2)

Отметим, что здесь внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы (т.е. числа), пределы во втором интеграле могут зависеть только от той переменной, которая стоит во внешнем интеграле.

Если в тройном интеграле подынтегральная функция f(x,y,z)º1, то тройной интеграл будет равен объему области интегрирования T, т.е.

. (2.3)

При вычислении тройных интегралов следует:

1) сделать чертеж области интегрирования T;

2) изобразить проекцию области T на выбранную координатную плоскость;

3) расставить пределы интегрирования.

, если

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1967
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 300
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 409
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 370
  • КрасГМУ 630
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 139
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 641
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 777
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 118
  • РГПУ им. Герцена 124
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 318
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 147
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 582
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1655
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1513
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306
Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).



Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика
Графическое дифференцирование