3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.

3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f ( x, y ) определена вдоль плоской кусочно-

гладкой 1 кривой L , концами которой будут точки A и B . Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A , M 1 . M n = B . На

каждой из частичных дуг M i M i + 1 выберем произвольную точку ( x i , y i ) и вычислим значения функции f ( x, y ) в каждой из этих точек. Сумма

1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

σ n = ∑ f ( x i , y i ) ∆ l i ,

где ∆ l i – длина частичной дуги M i M i + 1 , называется интегральной суммой

для функции f ( x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин

частичных дуг M i M i + 1 , i =

0 ,n − 1 через λ , то есть λ = max ∆ l i .

Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1)

стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг M i M i + 1 ,

зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от

выбора точек ( x i , y i ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f ( x , y ) по кривой L и обозначается символом ∫ f ( x , y ) dl .

Таким образом, по определению

I = lim ∑ f ( x i , y i ) ∆ l i = ∫ f ( x , y ) dl .

Функция f ( x , y ) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L ,

кривая L = AB - контуром интегрирования , А – начальной , а В - конечной точками интегрирования , dl - элементом длины дуги .

Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f ( x , y ) ≡ 1 для ( x , y ) L , то

получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа

Действительно, из определения криволинейного интеграла следует,

3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа

аналогичны свойствам определенного интеграла:

1 о . ∫ [ f 1 ( x , y ) ± f 2 ( x , y ) ] dl = ∫ f 1 ( x , y ) dl ± ∫ f 2 ( x , y ) dl .

2 о . ∫ cf ( x , y ) dl = c ∫ f ( x , y ) dl , где с - константа.

3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L

имеющие общих внутренних точек, то

∫ f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y )dl + ∫ f ( x, y )dl.

4 о .Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f ( x , y ) в

произвольных точках и длины частичных дуг ∆ l i , которые положительны,

независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть

f ( x , y ) dl = ∫ f ( x , y ) dl .

3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа

сводится к вычислению определенных интегралов.

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

Пусть α и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и

непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления

функций одной переменной известно, что

∫ f ( x , y ) dl = ∫ f ( x ( t ), y ( t ))

Решение. Так как x ( t ) = − a sin t , y ( t ) = a cos t , то

( − a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 dt = a 2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

и по формуле (3.4) получаем

∫ x 2 dl = ∫ a 2 cos 2 t adt = a

непрерывна вместе со своей производной y

( x ) при a ≤ x ≤ b , то

и формула (3.4) принимает вид

∫ f ( x , y ) dl = ∫ f ( x , y ( x ))

x = x ( y ), c ≤ y ≤ d

непрерывна вместе со своей производной x ( y ) при c ≤ y ≤ d , то

и формула (3.4) принимает вид

∫ f ( x , y ) dl = ∫ f ( x ( y ), y )

Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы

точки А (0,0) до точки В (2,2).

Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя

1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx =

2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как

Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f ( x , y , z ) по

пространственной кусочно-гладкой кривой L :

∫ f ( x , y , z ) dl = lim

∑ f ( x i , y i , z i ) ∆ l i .

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

f ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) ( x ( t ))

x = x ( t ) , y = y ( t )

Пример 3.3. Вычислить ∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , где L – дуга кривой

x ′ = cost − t sint, y ′ = sint + t cost, z ′ = 1 ,

(cos t − t sin t ) 2 + (sin t + t cos t ) 2 + 1 dt =

= cos 2 t − 2 t sin t cos t + t 2 sin 2 t + sin 2 t + 2 t sin t cos t + t 2 cos 2 t + 1 dt =

= 2 + t 2 dt .

Теперь по формуле (3.7) имеем

x 2 + y 2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t )

= 2 3 2 (1 + 2 π 2) 32 − 1 .

Геометрический смысл криволинейного интеграла по длине дуги: если f ( x , y ) ≥ 0 , то криволинейный

интеграл ∫ f ( x , y ) dl

которая составлена из перпендикуляров к

восстановленных в точках

ного интеграла по

длине дуги : криволинейный

представляет собой массу кривой L , имеющей переменную линейную плотность ρ ( x , y )

m = ∫ ρ ( x , y ) dl .

Пример 3.4. Найти массу дуги AB

линейная плотность которой меняется по закону ρ ( x , y ) = 2 y .

Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как

x ( t ) = 1, y ( t ) = t , dl =

1 2 + t 2 dt = ∫ t 1 + t 2 dt =

3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по

координатам ). Пусть функция

f ( x , y ) определена вдоль плоской

кусочно-гладкой кривой L , концами которой будут точки А и В . Опять

M 0 = A , M 1 . M n = B Так же выберем в пределах

дуги M i M i + 1

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Теорема о конечном приращении функции и ее следствия


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать