Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям

Объемы тел с известными площадями поперечных сечений

Формула объема тела с известными площадями поперечных сечений. Объем тела вращения

Используя формулу вычисления объема прямого цилиндра, получим формулу объема произвольного тела, для которого известны площади сечений, перпендикулярных некоторой прямой l.

Пусть даны ограниченное тело Ф и ось x (рис.2.11). Зная абсциссу x, можно вычислить площадь S = S (x) -- сечения тела Ф плоскостью, перпендикулярной к оси x и проходящей через точку с абсциссой x, т.е. площадь сечения является функцией от x. Пусть x=a и x=b -- абсциссы крайних сечений тела.

Теорема 2.5. Если для данной фигуры известны площади S = S(x) всех ее поперечных сечений плоскостями, перпендикулярными к некоторому данному направлению, принятому за ось x, а x b, то объем тела Ф вычисляем по формуле

Доказательство. При вычислении объема V разобьем фигуру Ф на n элементарных фигур плоскостями, перпендикулярными к оси x, от x =а до х=b.

Обозначим длины этих отрезков:

Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, которые разобьют данное тело на элементарные тела объемами V1 , V2, . , Vn.

Внутри каждого элементарного отрезка [xk-1,xk] выберем произвольную точку k так, что хk-1 k < хk.

Через точки k проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, площадь сечения которых с телом Ф будет равна Sk = S(k).

Объем Vk каждого элементарного тела заменим объемом прямого цилиндра с площадью основания S(k) и высотой xk. Объем каждого такого цилиндра равен S(k) xk. Сумма объемов всех цилиндров

Объем V является приближенным значением объема V данного тела. Сумму Vn называют интегральной. Количество точек хn разбиения отрезка [а,b] будем неограниченно увеличивать (n) так, чтобы длина каждого отрезка хk. стремилась к нулю (хk) .

Объем V определяет предел, к которому стремится последовательность сумм Vn объемов цилиндров при условии, что max хk:

Если S(х) -- непрерывная функция на отрезке [а,b], то этот предел существует, не зависит от точек разбиения хn и от выбора точки L на каждом элементарном отрезке и равен определенному интегралу от функции S (х) на отрезке [а,b]:

Следствие. Объем тела вращения, т.е. объем тела, полученного при вращении вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной осью х, прямыми х = а, х = b и кривой у=f(x), вычисляется по формуле

Доказательство. Пусть дано тело вращения (рис.2.12). Уравнение кривой AB-y=f(x) -- функция непрерывная на отрезке [a,b]. Выведем формулу для вычисления площади поперечных сечений S(х).

Через точку х проведем плоскость, перпендикулярную к оси х. Она пересечет тело по кругу с центром N на оси х и радиусом NF =f(х), поэтому площадь этого сечения



Площадь треугольника