Длина дуги кривой при ее параметрическом задании

Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть при этом изменение от до приводит к изменению от до . Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке и при этом . Тогда , а . Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):

В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:

Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле

Длина дуги в полярной системе координат

Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией , где . Пусть непрерывна вместе со своей производной на отрезке .

Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат: . Но так как , то получаем, что . Иначе говоря, и выражены через параметр , поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):

Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:

Обычно данную формулу записывают следующим образом:

Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.

Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси между точками и . Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь его любого поперечного сечения плоскостью , то есть плоскостью, перпендикулярной оси . Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то . В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то будет непрерывной функцией.

Разобьем отрезок точками на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси . Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: .

Найдем приближенно величину объема -ого слоя . Для этого рассмотрим отрезок , длина которого равна . Возьмем некоторую точку и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси . Если достаточно мало, то слой, соответствующий объему , можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным . Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, . Отсюда следует, что

Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция по условию непрерывна, то предел этой суммы при и существует и равен определенному интегралу:

Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:



Полное исследование функции и построение графика