Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Пусть поверхность $\sigma $ взаимно однозначно проецируется в область $D_ $ на плоскости $\mathbf<\textit>$. В этом случае $\cos \gamma $ имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, $\cos \gamma >0$, если рассматривается верхняя сторона поверхности, и $\cos \gamma <0$, если рассматривается нижняя сторона.

Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид $\sum\limits_^n )> =\sum\limits_^n )> $.

Если поверхность задана уравнением $z=F(x,y)$, $(x,y)\in D_ $, то эта сумма равна $\sum\limits_^n )> $. В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла $\iint\limits_ > $.

Ясно, что эта формула получена для верхней стороны поверхности. Если выбрана нижняя сторона, то все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "-", и интегральная сумма будет иметь вид $-\sum\limits_^n )> =-\sum\limits_^n )> $.

Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае $\iint\limits_\sigma =-\iint\limits_ > dxdy$. Окончательно, $\iint\limits_\sigma =\pm \iint\limits_ > dxdy$, где знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней стороны.

Аналогично изложенному, для других интегралов: $\iint\limits_\sigma =\pm \iint\limits_ > dydz$, если поверхность однозначно проецируется в область $D_ $ на плоскости $\mathbf<\textit>$, при этом знак "+" берётся для "передней" стороны поверхности <где $\cos \alpha >0)$, для "задней" стороны, где $\cos \alpha <0$, берётся знак "-"; $\iint\limits_\sigma =\pm \iint\limits_ > dxdz$, если поверхность однозначно проецируется в область $D_ $ на плоскость $\mathbf<\textit>$, знак "+" берётся для "правой" стороны поверхности <где $\cos \beta >0$>, для "левой" стороны, где $\cos \beta <0$, берётся знак "-". Как и для поверхностного интеграла первого рода, если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Вычислить $I=\iint\limits_\sigma <(x+z)dydz+(8y-x)dxdz+(2x^2-y)dxdy>$, $\sigma $ - часть поверхности цилиндра $\mathbf<\textit>=\frac<4>$, заключенная между плоскостями $\mathbf<\textit>$=0, $\mathbf<\textit>$=8, $\mathbf<\textit>$=0, $\mathbf<\textit>$=3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью $\mathbf<\textit>$.

Определяем знаки направляющих косинусов нормали cos$\alpha >$0, cos$\beta <$0, cos$\gamma $=0. Поэтому

Проекция поверхности $\sigma $ на плоскость $\mathbf<\textit>$ вырождается в линию - параболу $\mathbf<\textit>=\frac<4>$, cos$\gamma =0$, поэтому интеграл по $\mathbf<\textit>_\mathbf< >$ в данном случае отсутствует. Вычислим отдельно интегралы по $\mathbf<\textit>_$ и $\mathbf<\textit>_$ выражая $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit>,\mathbf<\textit>)$ и $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit>,\mathbf<\textit>)$ из уравнения поверхности

Окончательно $\mathbf<\textit> = 328 - 928 = - 600$.

Вычислить $I=\iint\limits_\sigma <3xdydz+zdxdz+5ydxdy>$, где $\sigma $ - часть плоскости $2x+3y-4z=12$, ограниченная координатными плоскостями $\mathbf<\textit>=0, \mathbf<\textit>=0, \mathbf<\textit>=0$. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью $\mathbf<\textit>$.

В заключение, вычисление поверхностного интеграла второго рода всегда можно свести к вычислению поверхностного интеграла первого рода. Так, в последнем примере подынтегральное выражение равно

Читайте также:

Свойства двойного интеграла

Механические приложения двойного интеграла

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Упрощение логических функций

Перейти к оглавлению $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow $

Если у Вас есть вопросы или комментарии, Вы можете оставить их ниже.

Комментарии ( 0 )

В Контакте

Все права защищены. При использовании материалов сайта ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна.



Ряд Маклорена


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать