Вычисление объёмов

Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями $\mathbf<\textit>=\mathbf<\textit>_<1>(\mathbf<\textit>$,$\mathbf<\textit>)$, $\mathbf<\textit>=\mathbf<\textit>_<2>(\mathbf<\textit>$,$\mathbf<\textit>)$, $(x,y)\in D$, с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $\mathbf<\textit>$, равен $v=\iint\limits_D <\left[ \right]dxdy>$; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла.

Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Тело изображено на рисунке. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось $\mathbf<\textit>$:

Область $\mathbf<\textit>$ - треугольник, ограниченный прямыми $\mathbf<\textit>$ = 0, $\mathbf<\textit>$ = 0, 2$\mathbf<\textit>+\mathbf<\textit>$ = 4, поэтому

Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси $\mathbf<\textit>$ <в уравнении нет $\mathbf<\textit>$ в явной форме). Построить в плоскости $\mathbf<\textit>$ кривую шестого порядка, заданную уравнением $(\mathbf<\textit>^<2>+\mathbf<\textit>^<2>)^< 3 >=\mathbf<\textit>^<2>(\mathbf<\textit>^<2>+\mathbf<\textit>^<2>)$, в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей <чётные степени>и точка $\mathbf<\textit<О>>(0,0)$ принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам. $r^6=R^2r^4(\cos ^4\varphi +\sin ^4\varphi );r^2=R^2((\cos ^2\varphi +\sin ^2\varphi )^2-2\cos ^2\varphi \sin ^2\varphi )=R^2(1-\frac<\sin ^22\varphi ><2>)=$

$\cos 4\varphi =-1\;(\varphi =\frac<\pi ><4>,\frac<3\pi ><4>,\frac<5\pi ><4>,\frac<7\pi ><4>),$ и гладко меняется между этими пределами <точка $\mathbf<\textit<О>>(0,0)$ не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли?>.

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями (y = 0,) (z = 0,) (z = x,) (z + x = 4.)

Данное тело показано на рисунке.

Описать тело, объем которого определяется интегралом (V = \int\limits_0^1 \int\limits_0^ <1 - x> <\left( <+ > \right)dy> .)

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (z = xy,) (x + y = a,) (z = 0.)

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (z = 0,) (x + y = 1,) ( + = 1,) (z = 1 - x.)

Как видно из рисунков, в области интегрирования (R) при (0 \le x \le 1) значения (y) изменяются от (1 - x) до (\sqrt <1 - >.)

Вычислить объем единичного шара.

Уравнение сферы радиусом (1) имеет вид ( + + = 1). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на (2.) Уравнение верхней полусферы записывается как $z = \sqrt <1 - \left( <+ > \right)> .$ Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем $z\left( \right) = \sqrt <1 - > .$ В полярных координатах область интегрирования (R) описывается множеством (R = \left[ <\left( \right)|\;0 \le r \le 1,0 \le \theta \le 2\pi > \right].) Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой $ <<2>\normalsize>> = \iint\limits_R <\sqrt <1 - > rdrd\theta > > = <\int\limits_0^<2\pi > \int\limits_0^1 <\sqrt <1 - > rdr> > = <2\pi \int\limits_0^1 <\sqrt <1 - > rdr> .> $ Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть (1 - = t.) Тогда (-2rdr = dt) или (rdr = - \large\frac<

><2>\normalsize.) Уточним пределы интегрирования: (t = 1) при (r = 0) и, наоборот, (t = 0) при (r = 1.) Получаем $ <<2>\normalsize>> = 2\pi \int\limits_0^1 <\sqrt <1 - > rdr> > = <2\pi \int\limits_1^0 <\sqrt t \left( < - \frac<
><2>> \right)> > = < - \pi \int\limits_1^0 <\sqrt t dt>> = <\pi \int\limits_0^1 <<2>\normalsize>>dt> > = <\pi \left. <\left( <\frac<<<2>\normalsize>>>><<\frac<3><2>>>> \right)> \right|_0^1 > = <\frac<<2\pi >><3>.> $ Таким образом, объем единичного шара равен $V = 2<2>\normalsize>> = \frac<<4\pi >><3>.$

Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой (H) и радиусом основания (R).

Читайте также:

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о немонотонной функции

Свойства тройного интеграла

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Соленоидальное векторное поле

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Перейти к оглавлению $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow $

Если у Вас есть вопросы или комментарии, Вы можете оставить их ниже.

Комментарии ( 0 )

В Контакте

Все права защищены. При использовании материалов сайта ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна.



Дискретные и непрерывные координаты