Вычислить работу силы F(x,y,z)

ЗАДАНИЕ 13. Вычислить работу силы при перемещении единичной массы вдоль кривой линии пересечения двух поверхностей: от точки до точки

Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги от точки до точки

.

Последний интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . Его вычисление сводится к вычислению определенного интеграла, для чего кривую надо представить в параметрической форме (условием задачи кривая задана в виде линии пересечения поверхности кругового цилиндра с плоскостью , см. рис.81).

Параметризацию кривой удобно провести следующим образом: зададим ; тогда из уравнения цилиндра найдем, что и из уравнения плоскости, что . Итак,

.

Найдем значения параметра , соответствующие точкам и

, откуда

, откуда .

Для работы получим

=

=

=

Ответ. Работа равна .

ЗАДАНИЕ 16. Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

1. По заданному скалярному полю построим поле его градиентов

.

Дивергенция (расходимость) векторного поля в декартовой системе координат вычисляется по формуле

и для поля получим

.

Убедимся, что (т.е. что поле градиентов – безвихревое поле); вычисляется как символический определитель третьего порядка

.

Для поля градиентов

2. Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений, которая в симметрической форме имеет вид

.

Запишем эту систему для заданного поля :

.

Ответ. , .

ЗАДАНИЕ 20. Убедиться в потенциальности поля вектора

,

найти потенциал поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки до точки .

Для поля , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:

, т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки к точке вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим

=

.

Потенциал поля определяется с точностью до постоянной. В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:

.

Ответ. , .

Основные теоремы дифференциального исчисленияРассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Справедлива Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c , такая, что f( c ) = 0. Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.



Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении