Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Выпуклость графика функции. Точки перегиба - Лекция, раздел Науковедение, Лекция 7. Исследование функций Определение 1. График Дифференцируемой Функции F(X.

Определение 1. График дифференцируемой функции f(x) называется выпуклым вниз на интервале (а, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 11).

График функции f(x) называется выпуклымвверх на интервале (a, b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале (рис. 12).

Так, парабола у = х 2 является выпуклой вниз на всей числовой оси (рис.13), а полуокружность (рис. 14) имеет график, выпуклый вверх на отрезке (-1, 1).

Определение 2. Точкой перегиба графика функции f(x) называется точка графика непрерывной функции М0(х0, f(x0)), отделяющая его части разной выпуклости (рис. 15).

Для определения интервалов выпуклости вверх и вниз используют знак второй производной функции f(x).

Теорема 1 (достаточное условие точки выпуклости). Если функция f(x) во всех точках интервала (a, b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f″(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f″(x) > 0 для всех х є (a, b), то график функции выпуклый вниз в этом интервале.

Доказательство. Пусть f″(х) < 0 для любого х є (a, b). Возьмем на графике произвольную точку М с абсциссой х0 є (a, b) и проведем через М касательную (рис. 16).

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке х є (a, b) ординату y кривой y = f(х) с ординатой yкас ее касательной.

Разность f'(с) – f'(x0) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

Исследуем это равенство:

Итак, доказано, что во всех точках интервала (a, b) ордината касательной больше ординаты графика, т.е. график функции выпуклый вверх.

Аналогично доказывается, что при f″(x) > 0 график выпуклый вниз.

Следствие теоремы 1 (необходимое условие точки перегиба графика функции). Если точка М0(х0, f(x0)) является точкой перегиба графика f(x), то вторая производная f″(x0) равняется нулю или не существует.

Действительно, стоит только предположить противное, т.е. существует f″(x0) ≠ 0, как тотчас же, согласно теоремы 1, точка М0 не оказывается точкой перегиба, а является точкой выпуклости, что противоречит условию следствия.

Таким образом, точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых вторая производная f″(x) = 0 или не существует.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 2.(достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f″(x) при переходе через точку x0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика М0(х0, f(x0)) является точкой перегиба.

Пример. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции

Решение. y' = 5x 4 – 1, y'' = 20x 3 . Вторая производная существует на всей числовой оси; y'' = 0 при х = 0.

Отмечаем, что y'' < 0 при х < 0; y'' > 0 при х > 0. Следовательно, график функции в интервале (-∞; 0) – выпуклый вверх, в интервале (0; ∞) – выпуклый вниз. Точка (0; 5) – точка перегиба.

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 7. Исследование функций

На сайте allrefs.net читайте: Лекция 7. Исследование функций.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Промежутки, в которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности. Установим необходимые и достаточные условия монотонности функции.

Определение 1. Точки экстремума функции – точки минимума и максимума функции. Определение 2.Точка х = х0

Рассмотрим на рис. 9 поведение функции f(х) в двух точках x3 и х4. В точке х4 функция меняет характер монотонности (с возрастания

Определение 1. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точ

План общего исследования функции и построения графика: 1. Область определения функции. 2. Определение четности, нечетности, периодичности функции. 3. Точки пересеч

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку
Новости и инфо для студентов
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто

Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.



Сумма векторов
Статистическое определение вероятности