Вектор. Векторное произведение векторов.

Векторное произведение — это псевдовектор, который перпендикулярен плоскости, построенной по двум

сомножителям, которые являются результатом бинарной операции «векторное умножение» над

векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.

Векторное произведение не имеет свойств коммутативности и ассоциативности (антикоммутативное)

Векторное произведение помогает в «измерении» перпендикулярности векторов — модуль

векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, если они

перпендикулярны, и стремится к нулю, если векторы параллельны или антипараллельны.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в

трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит

от ориентации прямоугольной системы координат или, говоря другими словами, её «хиральности».

Векторное произведение двух векторов обозначается квадратными скобками:

Свойства векторного произведения векторов.

1. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Векторным произведением вектора на вектор является

вектор , длина его численно соответствует площади

параллелограмма, который построен на векторах и ,

перпендикулярный к плоскости этих векторов и направлен

так, чтоб самое маленькое вращение от к около

вектора происходило против часовой стрелки, если взгляд вести

с конца вектора .

Модуль векторного произведения двух векторов и = площади параллелограмма, который

построен на них:

Площадь треугольника строящегося на векторах и соответствует одной второй модуля

векторного произведения векторов и :

2. Вектор перпендикулярен векторам и , то есть и ;

3. Вектор направлен таким образом, что поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотришь с конца вектора (в таком случае тройка векторов , и – правая).

4. Длина вектора равна || * || sin<(,).

5. Векторное произведения двух не нулевых векторов и = 0 тогда и только тогда, когда

6. Вектор , равен векторному произведению не нулевых векторов и и перпендикулярен

7.

8.

9.

Как найти векторное произведение векторов, формула.

Векторное произведение двух векторов в

декартовой системе координат – его значение можно вычислить по схеме приведенной ниже:

Выражение векторного произведения через координаты.

Используем таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

Если направление самого короткого пути от 1 вектора ко 2 совпадает с направлением стрелки, то

произведение векторов равно 3 вектору, а если оно не одинаково — 3 вектор приобретает знак «—».

этих векторов, перемножив их как многочлены (согласно свойствам векторного произведения векторов):

Окончательную формулу легко выразить еще короче:



Линейные однородные ДУ n-го порядка