Исследование функции в математическом анализе

Общие свойства функции одной переменной

Области определения и область значений функции

Область определения и область значений функции могут состоять из отрезков, интервалов и отдельных числовых значений.

Интервал -- множество действительных значений х, заключенных между двумя не совпадающими значениями х = а и х = b (а < b), исключая сами эти значения а и b.

Обозначения: х є (а, b), а < х < b. Значения а и b называются концами интервала, а значения. х є (а, b)-- внутренними точками интервала.

Если х є R, т. е. областью определения являются все действительные числа, то иногда пишут х є (-?, +?). Аналогичной записью пользуются, когда интервал не ограничен с одной стороны. Если к интервалу присоединим его концы а и b, то получим отрезок. Отрезок и интервал называются промежутками.

Если к интервалу присоединим один из его концов (левый или правый), то получим полуоткрытый промежуток.

Окрестностью точки х = хо называется всякий интервал, для которого точка хо является внутренней.

Если областью определения функции являются все действительные числа, то говорят, что функция определена на всей числовой оси, или в интервале «от минус бесконечности до плюс бесконечности».

Монотонность. Четность. Периодичность. Ограниченность

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух значений x1, x2 аргумента из этого интервала значения функции удовлетворяют условию f(x2)>f(x1) при x2>x1.

Функция называется убывающей в некотором интервале, если f(x2)<f(x1) при x2<x1.

Функция либо только возрастающая, либо только убывающая называется монотонной.

Четной называется функция, удовлетворяющая условию f(-x)=f(x), если х и -х принадлежат области определения функции f(х) .

Нечетной называется функция, удовлетворяющая условию f(-х) = -f(х) , если х и - х принадлежат области определения функции f(х) .

Периодической называется функция, удовлетворяющая условию f(х+Т) = f(х) для любого х. Наименьшее значение Т > О, удовлетворяющее этому условию, называется периодом функции.

Функция f(х) называется ограниченной, если существует такая постоянная величина A что |f(x)|? А при любом значении аргументах. В противном случае функция f(х) называется неограниченной.

Возрастание и убывание функции одной переменной

Определение. Говорят, что функция f(х) возрастает в промежутке (а, b), если любому большому значению аргумента х в этом промежутке соответствует большее значение функции; иными словами, f(х) есть возрастающая функция в промежутке (а, b), если, каковы бы ни были значения x1 и x2 из этого промежутка, из неравенства x2>x1 вытекает неравенство f(x2)>f(x1)

Аналогично, говорят, что f(х) убывает в промежутке (а, b), если любому большему значению аргумента х в этом промежутке соответствует меньшее значение функции; иными словами, f(x) есть убывающая функция (рис. 1,б).

Теорема 1. Необходимый признак возрастания (убывания) функции

1)Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна в этом промежутке.

2)Если дифференцируемая функция убывает в некотором промежутке, то ее производная и неположительная в этом промежутке.

Теорема 2. Достаточный признак возрастания (убывания) функции

1) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

2) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Функция, возрастающая (или убывающая), называется монотонной. Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции.



Вогнутость и выпуклость графика функции Точки перегиба


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать